Deux lois, deux ensembles différents de valeurs connues
Tout triangle qui n'est pas un triangle rectangle -- appelé triangle oblique -- peut être entièrement résolu à partir de trois mesures connues, mais la formule applicable dépend précisément des trois mesures connues. La loi des sinus et la loi des cosinus sont les deux outils généraux pour cela, chacun adapté à une combinaison différente de données connues.
| Valeurs connues | Méthode | Remarques |
|---|---|---|
| Deux angles + un côté quelconque (AAS ou ASA) | Loi des sinus | Toujours exactement une solution |
| Deux côtés + angle inclus (SAS) | Loi des cosinus | Toujours exactement une solution |
| Trois côtés (SSS) | Loi des cosinus | Toujours exactement une solution (si l'inégalité triangulaire est respectée) |
| Deux côtés + angle non inclus (SSA) | Loi des sinus, avec précaution | Zéro, une ou deux solutions possibles -- le cas ambigu |
La loi des sinus : deux angles et un côté (AAS/ASA)
La loi des sinus énonce que dans tout triangle, le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle qui lui est directement opposé est le même pour les trois côtés : a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Connaissant deux angles et un côté quelconque, le troisième angle découle immédiatement du fait que les angles d'un triangle totalisent 180 degrés, et les deux côtés manquants découlent directement du rapport.
Exemple chiffré : angle A = 40 degrés, côté a = 15 (opposé à l'angle A), et angle B = 60 degrés. Étape 1 : angle C = 180 - 40 - 60 = 80 degrés. Étape 2 : côté b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 degrés) / sin 40 degrés = (15 x 0,8660) / 0,6428, soit environ 20,2094. Étape 3 : côté c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 degrés) / sin 40 degrés, soit environ 22,9813. L'aire du triangle, en utilisant 1/2 x a x b x sin C, est d'environ 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 degrés), soit environ 149,2681 unités carrées.
La loi des cosinus : deux côtés et l'angle inclus (SAS), ou trois côtés (SSS)
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore aux triangles sans angle droit : c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), où C est l'angle compris entre les côtés a et b. Lorsque C vaut exactement 90 degrés, cos(C) = 0 et la formule se réduit exactement au théorème de Pythagore, a^2 + b^2 = c^2.
Exemple chiffré : côtés a = 8 et b = 11, avec un angle inclus de C = 37 degrés. Étape 1 : c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 degrés) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, soit environ 185 - 140,55 = 44,45, donc c vaut environ 6,6663. Étape 2 : une fois les trois côtés connus, les angles restants découlent de la formule réarrangée, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), donnant un angle A d'environ 46,2375 degrés et un angle B d'environ 96,7625 degrés (leur somme avec C = 37 degrés atteignant bien 180 degrés, comme requis). L'aire, 1/2 x a x b x sin(C), est d'environ 1/2 x 8 x 11 x sin(37 degrés), soit environ 26,4799 unités carrées.
Le cas ambigu SSA, expliqué honnêtement
Lorsque deux côtés et un angle non inclus (SSA) sont connus -- par exemple, le côté a, le côté b et l'angle A, où A n'est pas l'angle compris entre a et b -- la loi des sinus peut toujours être appliquée, mais le nombre de triangles valides satisfaisant les mesures données n'est pas toujours égal à un. Selon les valeurs précises, il peut n'y avoir aucun triangle (l'angle et les côtés donnés ne peuvent former aucun triangle fermé), exactement un triangle, ou exactement deux triangles distincts, tous deux valides.
Le facteur déterminant est la hauteur h = b x sin(A), comparée au côté a. Si a est inférieur à h, aucun triangle n'existe. Si a est égal à h, exactement un triangle existe, avec un angle droit au sommet opposé au côté a. Si h est inférieur à a et a est inférieur à b, deux triangles distincts existent. Si a est supérieur ou égal à b, exactement un triangle existe.
Exemple chiffré du cas ambigu : côté a = 20, côté b = 25, angle A = 40 degrés. Ici h = 25 x sin(40 degrés), soit environ 16,0697, et puisque 16,0697 est inférieur à 20 et 20 est inférieur à 25, deux triangles distincts satisfont ces mesures. En résolvant les deux : le premier a un angle B d'environ 53,4641 degrés, un angle C d'environ 86,5359 degrés et un côté c d'environ 31,0576 ; le second a un angle B d'environ 126,5359 degrés, un angle C d'environ 13,4641 degrés et un côté c d'environ 7,2446. Les deux triangles partent des mêmes valeurs initiales a = 20, b = 25 et A = 40 degrés, et pourtant décrivent deux formes véritablement différentes -- c'est précisément pourquoi le cas SSA est dit ambigu, et pourquoi il nécessite cette vérification supplémentaire que AAS, ASA et SAS n'exigent pas.
Choisir la bonne formule en pratique
Dans des domaines comme la topographie, la navigation et l'ingénierie, la recommandation pratique est d'identifier les trois mesures réellement disponibles avant de choisir une formule, plutôt que de se rabattre par habitude sur une seule loi. Si deux angles sont mesurés (fréquent lors d'une triangulation à partir de deux points d'observation fixes), la loi des sinus s'applique directement et sans ambiguïté. Si deux distances et l'angle qui les sépare sont mesurés (fréquent lorsque deux côtés sont piquetés depuis un seul sommet), la loi des cosinus s'applique directement et sans ambiguïté.
Le cas SSA survient plus souvent qu'il n'y paraît -- par exemple, en mesurant un côté connu, un second côté, et un angle qui n'est pas physiquement compris entre eux -- et comme il peut produire silencieusement deux réponses valides, il vaut la peine de vérifier explicitement la comparaison entre a et h décrite ci-dessus chaque fois que SSA est la seule combinaison disponible, plutôt que de supposer que le premier triangle calculé est le seul à correspondre aux données.
Questions fréquentes
Quand dois-je utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des sinus lorsque deux angles et un côté quelconque sont connus (AAS ou ASA), ce qui donne toujours exactement une solution, ou lorsque deux côtés et un angle non inclus sont connus (SSA), ce qui nécessite de vérifier le cas ambigu. Utilisez la loi des cosinus lorsque deux côtés et l'angle inclus (SAS) ou les trois côtés (SSS) sont connus à la place.
Qu'est-ce que le cas ambigu SSA ?
SSA signifie que deux côtés et un angle non inclus sont connus. Selon les valeurs précises, cette combinaison peut produire zéro, un ou deux triangles valides, contrairement à AAS, ASA ou SAS, qui produisent toujours exactement un. Par exemple, avec a = 20, b = 25 et l'angle A = 40 degrés, deux triangles distincts satisfont tous deux les mesures données -- l'un avec un angle B d'environ 53,4641 degrés, l'autre avec un angle B d'environ 126,5359 degrés.
Comment trouver un côté manquant avec la loi des cosinus ?
Appliquez c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), où C est l'angle compris entre les côtés a et b, puis prenez la racine carrée. Pour a = 8, b = 11 et C = 37 degrés, c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 degrés), soit environ 44,45, donc c vaut environ 6,6663.
Comment trouver un côté manquant avec la loi des sinus ?
Établissez le rapport a / sin(A) = b / sin(B) et résolvez pour le côté inconnu. Pour un angle A = 40 degrés, un côté a = 15 et un angle B = 60 degrés, le côté b = (15 x sin 60 degrés) / sin 40 degrés, soit environ 20,2094.
La loi des cosinus peut-elle résoudre un triangle à partir des trois côtés seuls (SSS) ?
Oui. Avec les trois côtés connus, la loi des cosinus est réarrangée pour résoudre chaque angle : cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). La loi des sinus ne peut pas être utilisée pour démarrer un problème SSS, car elle nécessite au moins un angle connu pour établir son rapport, ce que SSS ne fournit pas directement.
Références
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).