Loi des cosinus et théorème de Pythagore
Le tableau ci-dessous montre comment se comporte la loi des cosinus selon l'angle inclus, le théorème de Pythagore n'en étant que le cas particulier à 90°.
| Angle C | cos C | Effet sur c² |
|---|---|---|
| 90° (angle droit) | 0 | c² = a² + b² (théorème de Pythagore exactement) |
| < 90° (aigu) | positif | c² < a² + b² (c plus court que dans le cas rectangle) |
| > 90° (obtus) | négatif | c² > a² + b² (c plus long que dans le cas rectangle) |
- La loi des cosinus vaut pour tout triangle, et non pour les seuls triangles rectangles : c'est le cas général, dont le théorème de Pythagore n'est que la variante à 90°.
- L'angle C doit rester strictement compris entre 0° et 180° ; à l'une ou l'autre borne, les trois points s'alignent et aucun triangle n'existe.
Qu'est-ce que la loi des cosinus ?
La loi des cosinus relie les trois côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles : c² = a² + b² − 2ab·cos C. Elle généralise le théorème de Pythagore, puisque lorsque l'angle C vaut exactement 90°, cos C = 0 et la formule se réduit à c² = a² + b², la relation pythagoricienne bien connue.
À partir de deux côtés et de l'angle qu'ils encadrent — le cas SAS retenu ici —, la loi des cosinus livre directement le troisième côté ; réarrangée, la même formule restitue ensuite les deux angles restants.
Comment utiliser ce calculateur de la loi des cosinus
- Saisissez les côtés a et b, les deux longueurs connues.
- Saisissez l'angle C, celui qu'encadrent les côtés a et b, strictement compris entre 0° et 180°.
- Lisez le côté c, c'est-à-dire le côté manquant, les angles A et B, ainsi que l'aire du triangle.
La formule de la loi des cosinus
Une même relation de base se réarrange pour livrer un côté, ou bien un angle une fois les trois côtés connus.
Erreurs fréquentes
- Saisir un angle qui n'est pas réellement encadré par les côtés a et b : le cas SAS exige l'angle inclus.
- Oublier le signe moins dans c² = a² + b² − 2ab·cos C, facile à escamoter lorsque l'angle est aigu et que cos C est positif.
- Recourir à la loi des cosinus pour trouver un côté alors que l'on ne connaît que deux angles et un côté : ce cas relève de la loi des sinus.
- Saisir l'angle C en radians au lieu des degrés attendus.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la loi des cosinus ?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, où C est l'angle encadré par les côtés a et b, et c le côté opposé à cet angle.
Comment trouver un côté manquant avec la loi des cosinus ?
Extrayez la racine carrée après application de la formule : c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Pour a = 5, b = 7 et C = 49°, on obtient c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Comment trouver un angle avec la loi des cosinus ?
Réarrangez la formule pour isoler le cosinus, puis prenez l'arc cosinus : A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Pour a = 5, b = 7 et c ≈ 5,2987, l'angle A vaut environ 45,4117°.
Quel lien unit la loi des cosinus et le théorème de Pythagore ?
Lorsque l'angle inclus C vaut exactement 90°, cos C = 0, et la loi des cosinus c² = a² + b² − 2ab·cos C se réduit exactement au théorème de Pythagore, c² = a² + b².
Quand employer la loi des cosinus plutôt que la loi des sinus ?
Employez la loi des cosinus lorsque vous connaissez les trois côtés (SSS) ou deux côtés et l'angle inclus (SAS), cas que la loi des sinus ne sait pas traiter directement. Réservez celle-ci aux configurations où l'on connaît deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non inclus.
Quelle est l'aire d'un triangle de côtés 5 et 7 avec un angle inclus de 49° ?
Aire = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 unités carrées.
Références
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).