Arc, corde et secteur pour des angles courants
Le tableau ci-dessous compare longueur d'arc et longueur de corde pour un cercle de rayon 10, à plusieurs angles au centre usuels.
| Angle au centre | Longueur d'arc (r=10) | Longueur de corde (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (circonférence entière) | 0 (départ = arrivée) |
- À 360°, la longueur d'arc égale la circonférence entière (2πr) et la longueur de corde s'annule, puisque le point de départ et le point d'arrivée se confondent.
- Pour un même angle, la longueur d'arc est toujours supérieure ou égale à la longueur de corde : la droite est le plus court chemin entre deux points, tandis que l'arc s'incurve entre eux.
- L'aire du segment n'a de sens que pour des angles strictement compris entre 0° et 360° ; à 0° exactement, l'aire du secteur comme celle du segment sont nulles.
Longueur d'arc, longueur de corde et aire du secteur
Un arc est une portion courbe de la circonférence d'un cercle, délimitée par deux rayons et un angle au centre ; la longueur d'arc est la distance mesurée le long de cette courbe. La corde, elle, est le segment de droite qui joint les deux extrémités de l'arc : elle reste toujours plus courte que l'arc, sauf lorsque l'angle devient infinitésimal.
Le secteur est la région en forme de part de tarte délimitée par l'arc et les deux rayons ; le segment est la région plus petite délimitée par l'arc et la corde, soit la part de tarte diminuée du triangle formé par les deux rayons et la corde. Ces quatre grandeurs se calculent directement à partir du rayon et de l'angle au centre.
Comment utiliser ce calculateur de longueur d'arc
- Saisissez le rayon du cercle.
- Saisissez l'angle au centre en degrés, entre 0° et 360°.
- Lisez la longueur d'arc, la longueur de corde, l'aire du secteur et l'aire du segment, recalculées instantanément.
Les formules de la longueur d'arc et de l'aire du secteur
Toutes ces formules réclament l'angle au centre en radians (θ = angle en degrés × π / 180) ; le calculateur effectue automatiquement cette conversion à partir de la valeur saisie en degrés.
Erreurs fréquentes
- Saisir l'angle en radians alors que le calculateur attend des degrés.
- Confondre longueur d'arc, distance courbe, et longueur de corde, distance en ligne droite : elles ne coïncident qu'à la limite, lorsque l'angle tend vers zéro.
- Confondre l'aire du secteur, délimitée par deux rayons et l'arc, et l'aire du segment, délimitée par la corde et l'arc : la seconde est toujours la plus petite.
- Employer un angle supérieur à 360°, qui ne correspond à aucun secteur unique et bien défini d'un même cercle.
Questions fréquentes
Comment calculer une longueur d'arc ?
La longueur d'arc vaut le rayon multiplié par l'angle au centre exprimé en radians : s = rθ. Pour un rayon de 10 et un angle de 60° (θ = π/3 radians), elle vaut 10 × π/3 ≈ 10,4720 unités.
Quelle différence entre longueur d'arc et longueur de corde ?
La longueur d'arc mesure la distance parcourue le long du bord courbe du cercle entre deux points ; la longueur de corde mesure la distance en ligne droite entre ces mêmes points. Pour un rayon de 10 et un angle de 60°, l'arc vaut environ 10,4720 et la corde exactement 10, puisque corde = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10.
Comment trouver l'aire d'un secteur ?
L'aire d'un secteur vaut la moitié du carré du rayon multipliée par l'angle au centre en radians : A = ½r²θ. Pour un rayon de 10 et un angle de 60°, elle vaut ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 unités carrées.
Qu'est-ce qu'un segment de cercle ?
Un segment est la région comprise entre une corde et l'arc qu'elle intercepte, soit l'aire du secteur diminuée de celle du triangle formé par les deux rayons et la corde. Pour un rayon de 10 et un angle de 60°, l'aire du segment vaut ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 unités carrées.
Comment convertir des degrés en radians pour ces formules ?
Multipliez l'angle en degrés par π/180. Ainsi, 60° × π/180 = π/3 radians, soit environ 1,0472 radian.
Quelle est la longueur d'arc d'un cercle entier ?
Pour un angle au centre de 360°, soit 2π radians, la longueur d'arc égale la circonférence entière, 2πr. Pour un rayon de 10, cela donne 2π × 10 ≈ 62,8319 unités.
Références
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).