Le théorème de Pythagore expliqué : preuve, triplets et usages réels

Ce qu'énonce le théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle -- un triangle contenant exactement un angle de 90 degrés -- le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, appelés cathètes. Sous forme de formule : a^2 + b^2 = c^2, où a et b sont les deux cathètes et c l'hypoténuse. La relation porte le nom du mathématicien grec antique Pythagore, bien que les preuves montrent que la même relation numérique était connue et utilisée, indépendamment de toute démonstration formelle, par les mathématiciens babyloniens et d'autres mathématiciens anciens bien avant Pythagore.

Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles sur un plan plat (euclidien). Il ne s'applique pas aux triangles dépourvus d'angle droit -- ceux-ci nécessitent la loi des cosinus, plus générale -- et il ne s'applique pas exactement aux triangles tracés sur une surface courbe, comme une sphère, où la géométrie elle-même est différente.

Pourquoi cela fonctionne : une preuve classique par réarrangement

L'une des démonstrations les plus connues du théorème, souvent appelée la preuve par réarrangement, utilise quatre copies identiques d'un même triangle rectangle (de cathètes a et b et d'hypoténuse c) disposées à l'intérieur d'un unique grand carré de côté (a + b). Disposés d'une certaine façon, les quatre triangles entourent un carré intérieur plus petit et incliné, de côté c, de sorte que l'aire du grand carré se décompose en les quatre triangles plus ce carré intérieur : (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, ce qui se simplifie en (a + b)^2 = 2ab + c^2.

En développant algébriquement le membre de gauche, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. En égalant les deux expressions représentant l'aire totale du même carré : a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. En soustrayant 2ab de chaque côté, il reste a^2 + b^2 = c^2 -- le théorème de Pythagore, dérivé uniquement en comparant deux façons de calculer l'aire d'un même carré. Cette preuve particulière n'est qu'une parmi des centaines publiées au fil des siècles ; le recueil d'Elisha Loomis, The Pythagorean Proposition, en répertorie 367 distinctes.

Triplets pythagoriciens : 3-4-5 et au-delà

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers positifs a, b et c satisfaisant exactement a^2 + b^2 = c^2, ce qui signifie qu'un triangle rectangle avec ces trois longueurs entières existe sans arrondi nécessaire. Le plus petit triplet, et le plus largement reconnu, est 3-4-5, puisque 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.

Tout multiple entier d'un triplet connu est également un triplet valide -- par exemple, doubler 3-4-5 donne 6-8-10, et le tripler donne 9-12-15, qui satisfont tous deux également a^2 + b^2 = c^2. Les triplets qui ne sont pas des multiples d'un triplet plus petit, comme 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17 ci-dessous, sont appelés triplets pythagoriciens primitifs.

Usages réels : diagonales et distances

Parce que la diagonale d'un rectangle, avec deux côtés adjacents, forme un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne directement la longueur de la diagonale : diagonale = la racine carrée de (longueur^2 + largeur^2). Un rectangle de 6 sur 8 unités a une diagonale de la racine carrée de (6^2 + 8^2) = la racine carrée de (36 + 64) = la racine carrée de 100 = exactement 10 unités -- le triplet 6-8-10, un multiple de 3-4-5.

Le même principe étendu à trois dimensions donne la diagonale spatiale d'une boîte rectangulaire, obtenue en appliquant le théorème deux fois : d'abord pour trouver la diagonale du rectangle de base, puis en combinant cette diagonale avec la hauteur de la boîte. Une boîte de 12 sur 9 sur 8 unités a une diagonale spatiale de la racine carrée de (12^2 + 9^2 + 8^2) = la racine carrée de (144 + 81 + 64) = la racine carrée de 289 = exactement 17 unités. La formule de distance en coordonnées, utilisée pour trouver la distance en ligne droite entre deux points, d = la racine carrée de ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), est ce même théorème appliqué directement aux différences horizontale et verticale entre deux points : pour les points (1,2) et (4,6), la distance est la racine carrée de (3^2 + 4^2) = la racine carrée de 25 = 5.

La réciproque : utiliser 3-4-5 pour vérifier un angle droit

La réciproque du théorème de Pythagore est également vraie et fréquemment utilisée en pratique : si trois longueurs mesurées satisfont a^2 + b^2 = c^2, alors le triangle qu'elles forment contient nécessairement un angle droit opposé au côté le plus long, même si cet angle n'a jamais été mesuré directement. Cette réciproque est à la base de la méthode traditionnelle du 3-4-5, utilisée en construction et en charpenterie pour vérifier ou tracer un angle droit (90 degrés) : mesurer 3 unités le long d'un bord, 4 unités le long du bord perpendiculaire, puis confirmer que la diagonale entre ces deux points marqués est exactement de 5 unités confirme que le coin est un véritable angle droit.

Cela fonctionne parce que la réciproque garantit un résultat unique : trois longueurs positives satisfaisant a^2 + b^2 = c^2 ne peuvent former qu'un triangle rectangle, jamais un triangle aigu ou obtus, l'angle droit se situant à l'opposé du côté le plus long, c. Tout multiple du triplet 3-4-5 -- comme 6-8-10 ou 9-12-15 -- fonctionne de manière identique pour vérifier des coins plus grands.

Questions fréquentes

Références

1. Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
2. Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
3. Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).