Lire une valeur de pente
Le tableau ci-dessous récapitule ce que les différentes valeurs de pente révèlent du sens d'une droite.
| Valeur de la pente | Comportement de la droite |
|---|---|
| Positive (m > 0) | Monte de gauche à droite |
| Négative (m < 0) | Descend de gauche à droite |
| Nulle (m = 0) | Droite parfaitement horizontale |
| Non définie | Droite parfaitement verticale (x₁ = x₂) |
- Une droite verticale a une pente non définie, la variation horizontale (x₂ − x₁) étant nulle et le rapport dépourvu de sens ; le calculateur en donne alors directement l'équation sous la forme x = constante.
- Deux points confondus (x₁ = x₂ et y₁ = y₂) ne définissent aucune droite unique : aucune pente ne peut donc être calculée.
- Plus une droite est raide, plus la valeur absolue de sa pente est grande ; une pente de valeur absolue 1 forme un angle de 45° avec l'horizontale : le calculateur affiche +45° pour une pente de 1 et −45° pour une pente de −1.
Qu'est-ce que la pente ?
La pente décrit avec quelle vigueur une droite monte ou descend ; on la définit comme le rapport de la variation verticale (le dénivelé) à la variation horizontale (le déplacement) entre deux points de la droite : m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Une pente positive signale une droite qui monte de gauche à droite, une pente négative une droite qui descend, et une pente nulle une droite parfaitement horizontale.
Ce calculateur convertit également la pente en angle d'inclinaison — l'angle que forme la droite avec l'axe des abscisses positif, obtenu par la fonction arc tangente — et écrit l'équation de la droite sous forme réduite, y = mx + b.
Comment utiliser ce calculateur de pente
- Saisissez les coordonnées du premier point, x₁ et y₁.
- Saisissez les coordonnées du second point, x₂ et y₂.
- Lisez la pente, l'angle d'inclinaison en degrés et l'équation de la droite sous forme réduite.
La formule de la pente
La pente se calcule en premier ; l'angle d'inclinaison et l'équation en découlent l'un comme l'autre.
Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre de soustraction entre numérateur et dénominateur — écrire y₁ − y₂ sur x₂ − x₁ —, ce qui change le signe de la pente.
- Assimiler une pente nulle à une pente non définie : la première décrit une droite horizontale, la seconde une droite verticale.
- Confondre pente et angle d'inclinaison : une pente de 1 correspond à un angle de 45°, et non à une pente de 45.
- Oublier que la pente est un rapport et non une distance : elle ne porte par elle-même aucune unité de longueur.
Questions fréquentes
Comment calculer la pente entre deux points ?
La pente vaut la variation de y divisée par la variation de x : m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Pour les points (1; 2) et (4; 8), elle vaut (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2.
Que signifie une pente de 2 ?
Une pente de 2 signifie que la droite s'élève de 2 unités à la verticale pour chaque unité parcourue à l'horizontale. Elle correspond à un angle d'inclinaison de arctan(2) ≈ 63,43° par rapport à l'horizontale.
Quelle est l'équation d'une droite de pente 2 passant par (1; 2) ?
En partant de y = mx + b et en résolvant pour b : b = y₁ − m×x₁ = 2 − 2×1 = 0. L'équation est donc y = 2x, droite qui passe également par (4; 8), puisque 2×4 = 8.
Pourquoi la pente d'une droite verticale n'est-elle pas définie ?
Une droite verticale a la même abscisse en tout point, si bien que le dénominateur de la formule (x₂−x₁) vaut zéro. La division par zéro n'ayant pas de sens, la pente ne peut s'exprimer par un nombre : la droite se décrit alors par l'équation x = constante.
Quelle différence entre pente et angle d'inclinaison ?
La pente est le rapport numérique du dénivelé au déplacement (m) ; l'angle d'inclinaison est l'angle en degrés que forme la droite avec l'axe des abscisses positif, soit arctan(m). Une pente de 1 donne un angle de 45°, tandis qu'une pente de 2 donne environ 63,43°, et non 90°.
La pente peut-elle être négative ?
Oui. Une pente négative signale une droite qui descend de gauche à droite. Ainsi, les points (0; 4) et (2; 0) donnent une pente de (0−4)/(2−0) = −2.
Références
- Weisstein, Eric W. "Slope." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry and algebra textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).