Lire le résultat de la formule de distance
Le tableau ci-dessous montre comment la formule de distance se rattache aux cathètes du triangle rectangle formé par les deux points.
| Grandeur | Signification |
|---|---|
| x₂ − x₁ | Cathète horizontale du triangle rectangle (déplacement) |
| y₂ − y₁ | Cathète verticale du triangle rectangle (dénivelé) |
| d | Hypoténuse — la distance en ligne droite entre les points |
- Lorsque les deux points partagent la même abscisse, la droite est verticale et la pente n'est pas définie, le dénominateur (x₂ − x₁) étant nul : le calculateur affiche alors « non définie » plutôt qu'une valeur numérique.
- La formule de distance donne le même résultat quel que soit le point désigné comme premier ou second, puisque les deux écarts sont élevés au carré avant d'être additionnés.
Qu'est-ce que la formule de distance ?
La formule de distance calcule la distance en ligne droite entre deux points, (x₁, y₁) et (x₂, y₂), dans un plan cartésien. Elle découle directement du théorème de Pythagore : les écarts horizontal et vertical entre les deux points forment les deux cathètes d'un triangle rectangle, et la distance cherchée en est l'hypoténuse.
Outre la distance, ce calculateur renvoie le milieu — le point situé exactement à mi-chemin entre les deux points donnés — ainsi que la pente de la droite qui les traverse, laquelle en décrit l'inclinaison et le sens.
Comment utiliser ce calculateur de la formule de distance
- Saisissez les coordonnées du premier point, x₁ et y₁.
- Saisissez les coordonnées du second point, x₂ et y₂.
- Lisez la distance entre les deux points, leur milieu, ainsi que la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite qui les relie.
La formule de distance
La formule de distance applique le théorème de Pythagore aux écarts horizontal et vertical séparant deux points.
Erreurs fréquentes
- S'inquiéter de l'ordre de soustraction des coordonnées : les écarts étant élevés au carré, une erreur de signe ne modifie en rien la distance obtenue.
- Oublier d'extraire la racine carrée à la fin : l'expression sous le radical donne le carré de la distance, non la distance.
- Croire la pente toujours définie : une droite verticale, aux abscisses égales, a une pente non définie, et non une pente nulle.
- Confondre la formule du milieu, qui moyenne les coordonnées, et la formule de distance, qui somme des carrés d'écarts à la manière de Pythagore.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de distance ?
La formule de distance s'écrit d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) et découle du théorème de Pythagore. Pour les points (0; 0) et (3; 4), la distance vaut √(3² + 4²) = √25 = 5.
Comment trouver le milieu de deux points ?
Faites séparément la moyenne des abscisses et celle des ordonnées : milieu = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Pour (0; 0) et (3; 4), le milieu a pour coordonnées x = 1,5 et y = 2.
En quoi la formule de distance découle-t-elle du théorème de Pythagore ?
L'écart horizontal (x₂−x₁) et l'écart vertical (y₂−y₁) entre deux points constituent les deux cathètes d'un triangle rectangle ; la distance en ligne droite en est l'hypoténuse, d'où d = √(cathète₁² + cathète₂²), soit exactement le théorème de Pythagore.
Que signifie une pente non définie ?
La pente n'est pas définie lorsque les deux points partagent la même abscisse, c'est-à-dire quand la droite qui les relie est parfaitement verticale. La division par zéro (x₂ − x₁ = 0) n'ayant aucune valeur, la pente ne peut s'exprimer par un nombre.
La distance entre deux points peut-elle être négative ?
Non. La distance est toujours nulle ou positive, puisqu'elle provient de la racine carrée d'une somme de carrés, jamais négative. Une distance nulle signifie simplement que les deux points sont confondus.
Comment trouver l'équation de la droite passant par deux points ?
Calculez d'abord la pente, m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), puis l'ordonnée à l'origine par b = y₁ − m×x₁. Pour les points (0; 0) et (3; 4), m = 4/3 et b = 0 − (4/3)(0) = 0, d'où la droite y = (4/3)x.
Références
- Weisstein, Eric W. "Distance" and "Midpoint." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).