Quand employer la loi des sinus
La loi des sinus s'applique directement à deux configurations de résolution ; les autres relèvent de la loi des cosinus.
| Données connues | Méthode à privilégier |
|---|---|
| Deux angles + un côté quelconque (AAS ou ASA) | Loi des sinus — sans ambiguïté, solution unique |
| Deux côtés + angle non inclus (SSA) | Loi des sinus, mais gare au cas ambigu (0, 1 ou 2 triangles possibles) |
| Trois côtés (SSS) | Loi des cosinus |
| Deux côtés + angle inclus (SAS) | Loi des cosinus |
- Le mode de saisie AAS/ASA de ce calculateur, deux angles et un côté, admet toujours exactement une solution valide : le cas ambigu SSA ne s'y présente donc jamais.
- Les trois angles d'un triangle totalisent nécessairement 180° ; si les deux angles saisis atteignent déjà 180° ou davantage, aucun triangle n'existe et le calculateur ne renvoie aucun résultat.
Qu'est-ce que la loi des sinus ?
La loi des sinus énonce que, dans tout triangle, le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé reste constant pour les trois côtés : a / sin A = b / sin B = c / sin C. Elle permet donc de retrouver un côté ou un angle manquant dès que les données suffisent.
Lorsqu'on connaît deux angles et le côté opposé à l'un d'eux — le cas AAS ou ASA employé ici —, le triangle est entièrement et sans ambiguïté déterminé. Il en va autrement du cas SSA, deux côtés et un angle non inclus, qui peut donner deux triangles valides, un seul ou aucun : c'est le fameux cas ambigu.
Comment utiliser ce calculateur de la loi des sinus
- Saisissez l'angle A ainsi que la longueur du côté a, celui qui lui fait face.
- Saisissez l'angle B, le second angle connu.
- La somme des angles A et B doit rester inférieure à 180°, puisque le troisième angle (C) doit être positif.
- Lisez le côté b, l'angle C, le côté c et l'aire du triangle, tous déduits de la loi des sinus.
La formule de la loi des sinus
Une fois l'angle C obtenu par la somme des angles (180° − A − B), on applique le rapport a / sin A de la loi des sinus pour trouver les deux côtés restants.
Erreurs fréquentes
- Saisir le côté a comme s'il faisait face à l'angle B plutôt qu'à l'angle A : la loi des sinus associe strictement chaque côté à l'angle qui lui est opposé.
- Saisir deux angles dont la somme atteint ou dépasse 180°, ne laissant plus place à un troisième angle valide.
- Confondre la loi des sinus, qui met en rapport côtés et sinus des angles opposés, et la loi des cosinus, réservée aux cas SAS et SSS.
- Oublier que les angles se saisissent en degrés et non en radians.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la loi des sinus ?
a / sin A = b / sin B = c / sin C : chaque côté s'associe au sinus de l'angle qui lui fait directement face.
Comment trouver un côté manquant avec la loi des sinus ?
Posez le rapport à partir du côté et de l'angle connus, puis isolez le côté cherché : b = (a × sin B) / sin A. Pour A = 30°, a = 10 et B = 45°, le côté b vaut (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0,707107) / 0,5 ≈ 14,1421.
Que vaut le troisième angle si A = 30° et B = 45° ?
Les trois angles d'un triangle totalisant 180°, l'angle C vaut 180° − 30° − 45° = 105°.
Qu'est-ce que le cas ambigu de la loi des sinus ?
Le cas ambigu, dit SSA, survient lorsqu'on connaît deux côtés et un angle non inclus : selon les valeurs, zéro, un ou deux triangles distincts peuvent satisfaire les mesures données. Il ne se présente pas dans le mode AAS de ce calculateur, qui admet toujours une solution unique.
Comment obtenir l'aire d'un triangle avec la loi des sinus ?
Une fois deux côtés et l'angle qu'ils encadrent connus, aire = ½ × côté₁ × côté₂ × sin(angle inclus). Pour a = 10, b ≈ 14,1421 et un angle inclus C = 105°, l'aire vaut ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 unités carrées.
Quand préférer la loi des sinus à la loi des cosinus ?
Employez la loi des sinus lorsque vous connaissez deux angles et un côté quelconque (AAS/ASA), ou deux côtés et un angle non inclus (SSA). Réservez la loi des cosinus aux cas où vous connaissez les trois côtés (SSS) ou deux côtés et l'angle inclus (SAS), que la loi des sinus ne sait pas traiter directement.
Références
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).