Die Umwandlung verstehen
Häufige endliche Dezimalzahlen entsprechen einfachen Brüchen, die man sich einprägen sollte. Die folgende Tabelle listet die gebräuchlichsten Entsprechungen auf.
| Dezimalzahl | Bruch | Prozentwert |
|---|---|---|
| 0,5 | 1/2 | 50 % |
| 0,25 | 1/4 | 25 % |
| 0,75 | 3/4 | 75 % |
| 0,2 | 1/5 | 20 % |
| 0,125 | 1/8 | 12,5 % |
| 0,625 | 5/8 | 62,5 % |
| 0,0625 | 1/16 | 6,25 % |
- Eine Dezimalzahl bricht genau dann ab, wenn der zugehörige vollständig gekürzte Bruch einen Nenner besitzt, dessen einzige Primfaktoren 2 und 5 sind. Deshalb erzeugen 1/3, 1/6 und 1/7 periodische Dezimalzahlen.
- Periodische Dezimalzahlen lassen sich nicht exakt eingeben: 0,333333 wird zu 333333/1000000 umgewandelt und nicht zu 1/3. Verwenden Sie für periodische Dezimalzahlen das algebraische Verfahren (sei x = 0,333..., dann gilt 10x - x = 3, also x = 1/3).
- Dieser Rechner akzeptiert bis zu neun Nachkommastellen; darüber hinaus begrenzt die Gleitkommadarstellung die exakte Umwandlung.
Was bedeutet die Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch?
Eine endliche Dezimalzahl ist eine Zahl, deren Ziffern nach endlich vielen Nachkommastellen enden, etwa 0,625 oder 0,32. Jede endliche Dezimalzahl lässt sich exakt als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben: Die Ziffern nach dem Komma bilden den Zähler, und der Nenner ist 10 hoch der Anzahl der Nachkommastellen. Da 0,625 drei Nachkommastellen besitzt, entspricht es 625/1000.
Der entstehende Bruch wird anschließend gekürzt, indem Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden. Bei 625/1000 beträgt der ggT 125, woraus sich 5/8 ergibt. Ein Bruch aus ganzen Zahlen heißt rationale Zahl, und jede endliche Dezimalzahl ist rational.
Periodische Dezimalzahlen wie 0,333... (was exakt 1/3 entspricht) stellen ebenfalls rationale Zahlen dar, erfordern jedoch ein anderes, algebraisches Verfahren und lassen sich nicht exakt als endliche Dezimalzahl eingeben. Die Eingabe 0,333333 wandelt genau diese sechsstellige Dezimalzahl um (333333/1000000), nicht 1/3. Dieser Rechner verarbeitet endliche Dezimalzahlen mit bis zu neun Nachkommastellen.
So verwenden Sie diesen Dezimalzahl-in-Bruch-Rechner
- Geben Sie den umzuwandelnden Dezimalwert ein, zum Beispiel 0,625 oder 2,5. Negative Dezimalzahlen sind zulässig.
- Lesen Sie den gekürzten Bruch ab. Bei negativen Eingaben trägt der Zähler das Vorzeichen.
- Lesen Sie den Prozentwert ab, also die mit 100 multiplizierte Dezimalzahl.
- Zur Kontrolle von Hand schreiben Sie die Ziffern nach dem Komma über die passende Zehnerpotenz und teilen beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler.
Die Umwandlung nach der Stellenwertmethode
Zählen Sie die Ziffern nach dem Komma (diese Anzahl sei k). Multiplizieren Sie die Dezimalzahl mit 10^k, um einen ganzzahligen Zähler zu erhalten, und verwenden Sie 10^k als Nenner. Teilen Sie anschließend beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler, um vollständig zu kürzen.
Rechenbeispiel: 0,625. Die Zahl hat k = 3 Nachkommastellen, folglich gilt 0,625 = 625/1000. Der ggT von 625 und 1000 ist 125. Nach der Division ergibt sich 625/125 = 5 und 1000/125 = 8, also 0,625 = 5/8. Als Prozentwert: 0,625 x 100 = 62,5 %.
Zweites Beispiel: 0,32 = 32/100. Der ggT von 32 und 100 ist 4, daher gilt 0,32 = 8/25 = 32 %.
Dezimalzahlen größer als 1 werden genauso umgewandelt: 2,5 = 25/10 = 5/2, was sich auch als gemischte Zahl 2 1/2 schreiben lässt.
Häufige Fehler
- Erwarten, dass 0,33 oder 0,333333 zu 1/3 wird — nur die unendlich periodische Dezimalzahl 0,333... entspricht 1/3; jede endliche Eingabe ergibt einen anderen, exakten Bruch.
- Die falsche Zehnerpotenz verwenden: 0,625 ist 625/1000 (drei Stellen) und nicht 625/100.
- Das Kürzen vergessen: 625/1000 und 5/8 sind gleich, konventionell wird jedoch der vollständig gekürzte Bruch angegeben.
- Bei negativen Dezimalzahlen das Vorzeichen weglassen — das Minuszeichen gehört zum Zähler des entstehenden Bruchs.
Häufig gestellte Fragen
Wie wandle ich eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
Schreiben Sie die Ziffern nach dem Komma als Zähler über 10 hoch der Anzahl der Nachkommastellen und kürzen Sie anschließend mit dem größten gemeinsamen Teiler. Beispiel: 0,625 = 625/1000; der ggT von 625 und 1000 ist 125, also gilt 0,625 = 5/8.
Was ist 0,625 als Bruch?
0,625 entspricht 5/8. Die Umwandlung: 0,625 hat drei Nachkommastellen und entspricht daher 625/1000. Teilt man Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler 125, ergibt sich 5/8. Als Prozentwert sind 0,625 gleich 62,5 %.
Lässt sich jede Dezimalzahl als Bruch schreiben?
Jede endliche und jede periodische Dezimalzahl lässt sich exakt als Bruch ganzer Zahlen schreiben — das sind die rationalen Zahlen. Irrationale Zahlen wie pi (3,14159...) oder die Quadratwurzel aus 2 besitzen Dezimaldarstellungen, die weder abbrechen noch periodisch sind, und lassen sich daher durch keinen Bruch ganzer Zahlen exakt darstellen.
Wie wandle ich eine periodische Dezimalzahl wie 0,333... in einen Bruch um?
Nutzen Sie Algebra statt der Stellenwertmethode. Sei x = 0,333...; die Multiplikation mit 10 ergibt 10x = 3,333...; zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, folgt 9x = 3, also x = 3/9 = 1/3. Eine endliche Eingabe wie 0,333333 ist eine andere Zahl und wird stattdessen zu 333333/1000000 umgewandelt.
Wie wandle ich eine Dezimalzahl größer als 1 um?
Es gilt dieselbe Stellenwertmethode. So ergibt 2,5 = 25/10 = 5/2, nachdem durch den ggT 5 geteilt wurde. Der unechte Bruch 5/2 lässt sich auch als gemischte Zahl 2 1/2 schreiben; beide bezeichnen denselben Wert.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.