Ergebnisse der Bruchrechnung verstehen
Ergebnisse werden stets vollständig gekürzt. Die folgende Tabelle zeigt, wie sich die einzelnen Rechenarten an den Beispielbrüchen 1/2 und 1/3 verhalten.
| Rechenart | Rechnung | Ergebnis | Dezimalwert |
|---|---|---|---|
| Addieren | 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 | 5/6 | 0,833333 |
| Subtrahieren | 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Multiplizieren | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Dividieren | (1/2) / (1/3) = 3/2 | 3/2 | 1,5 |
- Ein unechter Bruch (Zähler größer als Nenner, etwa 3/2) ist ein gültiges Ergebnis; er lässt sich auch als gemischte Zahl 1 1/2 schreiben.
- Der angezeigte Dezimalwert ist auf sechs Nachkommastellen gerundet; Brüche wie 1/3 besitzen eine nicht abbrechende Dezimaldarstellung.
- Dieser Rechner rundet Eingaben auf ganze Zahlen, da Brüche definitionsgemäß Verhältnisse ganzer Zahlen sind.
Was ist ein Bruch?
Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar oder allgemeiner das Verhältnis zweier ganzer Zahlen: einen Zähler (die obere Zahl) geteilt durch einen Nenner (die untere Zahl). Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt wird, der Zähler, wie viele dieser Teile genommen werden. Brüche mit demselben Wert können unterschiedlich aussehen — 1/2, 2/4 und 3/6 bezeichnen alle dieselbe Zahl.
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen. Beim Kürzen werden beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt. So lässt sich 8/12 zu 2/3 kürzen, da der ggT von 8 und 12 gleich 4 ist. Dieser Rechner gibt Ergebnisse stets gekürzt aus, wobei ein etwaiges negatives Vorzeichen vom Zähler getragen wird.
Die vier Grundrechenarten folgen bei Brüchen festen Regeln: Addition und Subtraktion erfordern einen gemeinsamen Nenner, bei der Multiplikation werden Zähler und Nenner direkt miteinander multipliziert, und bei der Division wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Diese Regeln ergeben sich unmittelbar aus der Definition des Bruchs als Quotient ganzer Zahlen.
So verwenden Sie diesen Bruchrechner
- Geben Sie Zähler und Nenner des ersten Bruchs ein. Nenner dürfen nicht null sein; Eingaben werden als ganze Zahlen behandelt.
- Wählen Sie die Rechenart: addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
- Geben Sie Zähler und Nenner des zweiten Bruchs ein. Bei der Division darf auch der Zähler des zweiten Bruchs nicht null sein.
- Lesen Sie das gekürzte Ergebnis und seinen Dezimalwert ab. Bei negativen Ergebnissen trägt der Zähler das Vorzeichen.
Formeln für das Rechnen mit Brüchen
Addition und Subtraktion nutzen die Kreuzmultiplikation, um einen gemeinsamen Nenner zu erreichen: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd) und a/b - c/d = (ad - cb) / (bd). Anschließend wird das Ergebnis vollständig gekürzt.
Bei der Multiplikation wird direkt über Kreuz gerechnet: a/b x c/d = (ac) / (bd). Bei der Division wird mit dem Kehrwert multipliziert: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc), wobei c ungleich null sein muss.
Rechenbeispiel (Addition): 1/2 + 1/3. Kreuzmultiplikation: (1 x 3 + 1 x 2) / (2 x 3) = (3 + 2) / 6 = 5/6. Der ggT von 5 und 6 ist 1, daher ist 5/6 bereits vollständig gekürzt; als Dezimalzahl ergibt sich 0,833333 (auf sechs Stellen gerundet).
Rechenbeispiel (Division): (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. Die Division durch einen Bruch kleiner als 1 liefert ein Ergebnis, das größer ist als der Ausgangswert.
Häufige Fehler
- Zähler und Nenner getrennt addieren: 1/2 + 1/3 ergibt nicht 2/5 — zuerst ist ein gemeinsamer Nenner nötig.
- Vergessen, den zweiten Bruch beim Dividieren umzukehren: (a/b) / (c/d) entspricht a/b x d/c, nicht a/b x c/d.
- Das Ergebnis nicht kürzen — 4/8 und 1/2 sind gleich, konventionell werden Ergebnisse jedoch vollständig gekürzt angegeben.
- Über eine Summe hinweg kürzen: In (2 + 3)/2 lassen sich die Zweien nicht wegkürzen; gekürzt werden dürfen nur gemeinsame Faktoren von Produkten.
- Einen größeren Nenner für einen größeren Bruch halten: 1/8 ist kleiner als 1/4, da das Ganze in mehr Teile zerlegt wird.
Häufig gestellte Fragen
Wie addiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Schreiben Sie beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren Sie dann die Zähler. Mit der Kreuzmultiplikation gilt: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd). Beispiel: 1/2 + 1/3 = (1x3 + 1x2) / (2x3) = 5/6. Kürzen Sie das Ergebnis abschließend, indem Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen.
Wie dividiere ich einen Bruch durch einen anderen?
Multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten: (a/b) / (c/d) = (a x d) / (b x c). Beispiel: (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. Die Division durch einen Bruch ist nur definiert, wenn dieser nicht null ist.
Wie kürze ich einen Bruch vollständig?
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT von 8 und 12 ist 4, daher lässt sich 8/12 zu 2/3 kürzen. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn die einzige positive ganze Zahl, die Zähler und Nenner teilt, die 1 ist.
Was ist ein unechter Bruch?
Ein unechter Bruch hat einen Zähler, dessen Betrag größer oder gleich dem Nenner ist, etwa 3/2 oder 7/4. Unechte Brüche sind gültige Ergebnisse und lassen sich als gemischte Zahlen schreiben: 3/2 = 1 1/2 und 7/4 = 1 3/4. Beide Schreibweisen bezeichnen denselben Wert.
Warum ist das Ergebnis manchmal negativ?
Ein Bruch ist negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben oder wenn eine Subtraktion einen Zähler unter null erzeugt. Konventionsgemäß setzt dieser Rechner das negative Vorzeichen an den Zähler und hält den Nenner positiv, sodass -1/2 statt 1/-2 angezeigt wird.
Darf der Nenner eines Bruchs null sein?
Nein. Die Division durch null ist nicht definiert, daher besitzt ein Bruch mit dem Nenner null keinen Wert. Dieser Rechner gibt kein Ergebnis aus, wenn einer der Nenner null ist oder wenn Sie durch einen Bruch teilen, dessen Zähler null ist (da dieser Bruch selbst null ist).
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Fraction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST Handbook 44, Appendix C: General Tables of Units of Measurement (standard fraction conventions). nist.gov.