ضبط الإشارات
يكاد كل جواب خاطئ من حلّال TVM يأتي من الإشارات لا من الحساب. ويبيّن الجدول الاصطلاح في أشيع حالتين.
| الحالة | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| الادّخار في حساب | سالبة (أنت تودعها) | سالب (أنت تودعه) | موجبة (أنت تسحبها) |
| سداد قرض | موجبة (أنت تقبضها) | سالب (أنت تسدّده) | صفر، أو سالبة إن بقيت دفعة أخيرة كبيرة |
| تقويم استثمار | سالبة (الثمن الذي تدفعه) | موجب (الدخل المقبوض) | موجبة (حصيلة البيع) |
- المعدّل المُدخل معدّل سنوي اسمي مقسوم على عدد الفترات في السنة. وحيث يعلن منتجٌ معدّلًا سنويًا فعليًا بدلًا منه، فحوّله قبل إدخاله.
- ونادرًا ما يعطي إيجاد عدد الفترات عددًا صحيحًا. والنتيجة الكسرية تعني أن الفترة الأخيرة جزئية.
ما الذي تعنيه القيمة الزمنية للنقود
المال المتاح الآن أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يحقّق عائدًا في هذه الأثناء. والقيمة الزمنية للنقود تضع هذا الحدس في معادلة تربط مبلغًا مقطوعًا اليوم، وتيارًا من الأقساط المتساوية، ومبلغًا مقطوعًا في النهاية، ومعدّل فائدة، وعددًا من الفترات.
واصطلاح الإشارة هو ما يعثر عنده الناس، وهو ليس اعتباطيًا. فالنقد الذي تقبضه موجب والذي تدفعه سالب، فالإيداع سالب والرصيد الذي تسحبه لاحقًا موجب؛ والقرض الذي تقبضه موجب والأقساط التي تدفعها سالبة. وإن حملت كل القيم الإشارة نفسها فلا حلّ معقولًا للمعادلة.
وقد تقع الأقساط في نهاية كل فترة، وهي الدفعات السنوية العادية المتّبعة في أغلب القروض، أو في بدايتها، وهي الدفعات المقدَّمة المتّبعة في الإيجار وكثير من أقساط التأمين. والدفع في البداية يمنح كل قسط فترة إضافية للنماء أو التراكم، ولذلك يعطي الإعدادان جوابين مختلفين.
كيفية استخدام حاسبة TVM
- اختر أي الكميات الخمس تريد إيجادها. فيختفي حقلها — لأنه هو الجواب.
- أدخل الأربع الأخرى مراعيًا اصطلاح الإشارة: المال المدفوع سالب والمقبوض موجب.
- حدّد عدد الفترات في السنة. اثنتا عشرة للشهري، وأربع للربع سنوي، وواحدة للسنوي.
- اختر إن كانت الأقساط تقع في نهاية كل فترة أم في بدايتها.
- اقرأ النتيجة. وعند إيجاد معدّل، يُعرض المعدّل السنوي والمعدّل السنوي الفعلي معًا.
المعادلة وراء الحلّال
تحقّق الكميات الخمس علاقة واحدة. فتُنمّى القيمة الحالية إلى الأمام على مدى n فترة، ويُقوَّم تيار الأقساط بوصفه دفعات سنوية، وتُضاف القيمة المستقبلية؛ والقيم المتّسقة تجعل المجموع صفرًا.
ويمكن عزل أربع من الخمس جبريًا. أما المعدّل فلا، ولذلك يُوجَد بالتنصيف — الأسلوب نفسه الذي تستعمله حاسبة معدّل الفائدة، وللسبب نفسه.
أخطاء شائعة
- إدخال كل القيم موجبة. فالمعادلة تحتاج إلى تغيّر إشارة واحد على الأقل ليوجد حلّ.
- خلط معدّل سنوي بفترات شهرية دون ضبط عدد الفترات في السنة.
- استعمال إعداد الدفعات العادية لأقساط تُدفع مقدَّمًا، كالإيجار، وهي دفعات مقدَّمة.
- إدخال معدّل سنوي فعلي حيث يُنتظر معدّل اسمي.
- قراءة عدد فترات كسري على أنه خطأ بدل أن يكون فترة أخيرة جزئية.
الأسئلة الشائعة
ما متغيّرات TVM الخمسة؟
القيمة الحالية والقيمة المستقبلية والقسط لكل فترة وعدد الفترات ومعدّل الفائدة. وتربطها معادلة واحدة، فأي أربع منها تحدّد الخامسة. وهي مجموعة المتغيّرات نفسها التي تسمّيها الحاسبات المالية PV وFV وPMT وN وI/Y.
لماذا عليّ إدخال أرقام سالبة؟
لأن المعادلة توازن التدفقات الداخلة بالخارجة. فالمال الذي تدفعه سالب والذي تقبضه موجب. وادّخار 100 شهريًا نحو هدف هو قسط قدره -100؛ والرصيد الذي تسحبه في النهاية موجب. وإن حمل كل رقم الإشارة نفسها فلا شيء يُوازَن ولا وجود لحلّ.
ما الفرق بين الدفعات السنوية العادية والمقدَّمة؟
الدفعات العادية تُدفع في نهاية كل فترة وهي المعيار في القروض. أما المقدَّمة فتُدفع في البداية، وهكذا يعمل الإيجار وكثير من أقساط التأمين. ولمّا كان كل قسط في الدفعات المقدَّمة يحظى بفترة إضافية للتركيب، صارت قيمته (1 + i) ضِعف قيمة الدفعات العادية المكافئة.
كيف يُوجَد معدّل الفائدة وليست له صيغة؟
ببحث عددي. فالمعدّل يظهر عاملًا وداخل أُسٍّ في آن، فلا يمكن عزله. ويحصر الحلّال الجواب في مجال ثم ينصّفه مرارًا حتى يتقارب إلى ما يتجاوز دقة العرض بكثير.
ما الفرق بين المعدّل السنوي والمعدّل السنوي الفعلي؟
المعدّل السنوي هنا اسمي — أي المعدّل الدوري مضروبًا في عدد فترات السنة، متجاهلًا التركيب داخل السنة. أما المعدّل السنوي الفعلي، (1 + i)^m - 1، فيشمل ذلك التركيب، وهو الأساس الصحيح لمقارنة منتجات بترددات تركيب مختلفة.
المراجع
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.