把符号写对
这类求解器给出的错误答案，几乎都来自符号而不是算术。下表给出两种最常见情形的约定。
| 情形 | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| 存钱到账户 | 负（你存入） | 负（你存入） | 正（你取出） |
| 偿还贷款 | 正（你收到） | 负（你偿还） | 零，若留有尾款则为负 |
| 评估一项投资 | 负（你支付的价格） | 正（收到的收益） | 正（卖出所得） |
- 填入的利率是名义年利率除以每年期数。如果某个产品报出的是实际年利率，请先换算再填入。
- 求解期数时很少得到整数。带小数的结果意味着最后一期只是部分期间。
货币时间价值是什么意思
今天可用的钱比日后同样一笔钱更值钱，因为在这段时间里它能产生回报。货币时间价值把这个直觉写成一个方程，把今天的一笔金额、一串等额付款、期末的一笔金额、一个利率和一个期数联系在一起。
符号约定是最容易出错的地方，而且它并非随意规定。你收到的钱为正，你支付的钱为负，因此一笔存入是负数，日后取出的余额是正数；你收到的贷款是正数，你支付的各期还款是负数。如果所有数值符号相同，方程就没有合理的解。
付款可以发生在每期期末，这是多数贷款采用的普通年金；也可以发生在每期期初，这是房租和许多保险费采用的预付年金。期初付款让每一笔付款多出一期用于生息或计息，因此两种设置给出的答案并不相同。
如何使用本计算器
- 选择你想求的是五个量中的哪一个。该量的输入框会消失——它就是答案。
- 按符号约定填入其余四个：流出的钱为负，流入的钱为正。
- 设定每年的期数。按月为十二，按季为四，按年为一。
- 选择付款发生在每期期末还是期初。
- 读取结果。求解利率时，会同时显示年利率和实际年利率。
求解器背后的方程
五个量满足同一个关系式。现值按 n 期向前计息，付款流按年金估值，再加上终值；数值彼此自洽时，总和为零。
其中四个可以用代数方法单独解出。利率不行，因此用二分法求解——与利率计算器相同的方法，理由也相同。
常见错误
- 把所有数值都填成正数。方程至少需要一次符号变化才有解。
- 把年利率与按月的期数混用，却没有设定每年期数。
- 对房租这类预付款项使用普通年金设置，而它们其实是预付年金。
- 在需要名义利率的地方填入实际年利率。
- 把带小数的期数当成错误，而不是当成最后一期为部分期间。
常见问题
货币时间价值的五个变量是什么？
现值、终值、每期付款、期数和利率。它们由同一个方程联系，因此任意四个都能确定第五个。这与金融计算器上标注的 PV、FV、PMT、N 和 I/Y 是同一组变量。
为什么我必须填入负数？
因为方程要在流入与流出之间取得平衡。你支付的钱为负，你收到的钱为正。为某个目标每月存 100，就是 -100 的付款；你最终取出的余额是正数。如果所有数字符号相同，就没有什么可平衡的，方程也没有解。
普通年金和预付年金有什么区别？
普通年金在每期期末付款，是贷款的标准形式。预付年金在期初付款，房租和许多保险费就是这样。由于预付年金的每一笔付款都多出一期用于计息，其价值是等价普通年金的 (1 + i) 倍。
利率没有公式，是怎么解出来的？
通过数值搜索。利率同时以乘数和指数的形式出现，因此无法单独解出。求解器先框定答案所在区间，再反复对半分，直到收敛到远超显示精度的水平。
年利率和实际年利率有什么区别？
这里的年利率是名义值：每期利率乘以一年内的期数，不计年内的复利。实际年利率为 (1 + i)^m - 1，把复利计入其中，是比较复利频率不同的产品时正确的基准。
参考文献
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.