名义与实际的对比
这两个利率回答的是不同的问题。名义利率是合同报出的数字；实际利率是一年按月复利真正的成本。拿一份报价的名义利率去比另一份的实际利率，永远会显得后者更优。
| 利率 | 它是什么 | 用于什么 |
|---|---|---|
| 月利率 | 每月施加于余额的利率 | 重建还款计划表 |
| 名义年利率 | 月利率乘以 12 | 与放贷机构的报价相比较 |
| 实际年利率 | 按月复利下的真实年成本 | 比较复利频率不同的产品 |
- 这是由现金流反推出的利率，而不是 APR。APR 还包含费用和各项开支，因此当贷款收取手续费时，APR 会高于此处求得的利率。
- 如果各期还款总额不超过借款金额，则不存在任何非负利率，计算器会明确说明，而不是返回一个负利率、仿佛那是一种折扣。
什么是隐含利率
四个量描述一笔固定利率贷款：金额、月供、期限和利率。任意固定其中三个，第四个就随之确定。本计算器固定金额、月供和期限，找出使三者自洽的那个利率。
与月供或期限不同，利率无法用代数方法单独解出——它同时以因子的形式和指数的形式出现。因此它通过数值搜索求得：不断收窄一个已知含有答案的区间，直到把它锁定在远超显示精度的水平上。
名义年利率就是月利率乘以十二，这也是放贷机构通常的报价方式。实际年利率计入了利息按月复利的效果，始终是两者中较大的一个。
如何使用利率计算器
- 输入实际借入的金额，而不是购买价格。
- 输入合同约定的月供。
- 输入以月为单位的期限。
- 读取名义年利率——这是可与放贷机构报价相比较的数字——以及旁边的实际年利率。
利率是如何求出的
利率 i 满足 P = 月供 x (1 - (1 + i)^-n) / i。由于 i 无法单独解出，计算器在一个已知存在符号变化的区间上计算等式两边之差，并反复将区间对半分——这就是二分法。之所以用二分法而不是基于导数的方法，是因为只要区间存在，二分法就不可能发散。
搜索会一直进行到远比显示精度更细的容差，因此所给利率受限于显示取整，而不是受限于方法本身。
常见错误
- 把结果当作 APR。它是各期还款所隐含的利率，不含费用。
- 填入价格而不是实际融资金额。
- 拿这个名义利率去比另一款产品的实际年利率。
- 把应还总额当作月供填入。
- 在各期还款根本无法偿还本金时仍期待得到一个利率——那种情况下并不存在。
常见问题
如何计算一笔贷款的利率？
根据金额、月供和期限，用 P = 月供 x (1 - (1 + i)^-n) / i 求解。利率 i 无法用代数方法单独解出，因此采用数值方法。借入 20,000、每月还 387、共 60 个月，对应月利率 0.5031%、名义年利率 6.037%、实际年利率 6.207%。
为什么利率不能直接解出来？
因为在年金方程中，利率同时以乘数和指数的形式出现，无法按 i 做代数变形。金融计算器和电子表格都使用数值搜索；本计算器使用二分法，无需导数即可可靠收敛。
名义年利率和实际年利率有什么区别？
名义利率是月利率乘以十二，忽略了年内的复利。实际利率是 (1 + i)^12 - 1，把复利计入其中。在月利率 0.5031% 时，名义利率为 6.037%，实际利率为 6.207%。
这和 APR 是一回事吗？
不是。APR 是一项受监管的披露指标，除利息外还包含费用和某些开支，因此通常更高。用这个数字来核对各期还款所隐含的利率，用放贷机构披露的 APR 来比较总成本。
如果各期还款加起来少于我借的钱怎么办？
那么没有任何非负利率能够解释这份合同，计算器会指出月供过小，而不是返回一个负利率。实践中这通常意味着三个输入之一填错了。
参考文献
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — internal rate of return and annuity valuation.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — bisection and bracketing of roots.
- US Consumer Financial Protection Bureau. Regulation Z (12 CFR Part 1026), Appendix J — annual percentage rate computations for closed-end credit.