Hai định lý, hai bộ dữ kiện khác nhau
Mọi tam giác không vuông -- gọi là tam giác xiên -- đều có thể giải trọn vẹn từ ba số đo đã biết, nhưng công thức nào áp dụng được lại phụ thuộc chính xác vào việc ba số đo đó là những đại lượng nào. Định lý sin và định lý cosin là hai công cụ tổng quát cho việc này, và mỗi định lý phù hợp với một tổ hợp dữ kiện khác nhau.
| Dữ kiện đã biết | Phương pháp | Ghi chú |
|---|---|---|
| Hai góc + một cạnh bất kỳ (AAS hoặc ASA) | Định lý sin | Luôn có đúng một nghiệm |
| Hai cạnh + góc xen giữa (SAS) | Định lý cosin | Luôn có đúng một nghiệm |
| Ba cạnh (SSS) | Định lý cosin | Luôn có đúng một nghiệm (nếu bất đẳng thức tam giác thỏa mãn) |
| Hai cạnh + góc không xen giữa (SSA) | Định lý sin, cần thận trọng | Có thể không, một hoặc hai nghiệm -- trường hợp nhập nhằng |
Định lý sin: hai góc và một cạnh (AAS/ASA)
Định lý sin phát biểu rằng trong mọi tam giác, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó là như nhau với cả ba cạnh: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Khi biết hai góc và một cạnh bất kỳ, góc thứ ba suy ra ngay từ việc tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ, và hai cạnh còn thiếu suy ra trực tiếp từ tỉ số đó.
Ví dụ minh họa: góc A = 40 độ, cạnh a = 15 (đối diện góc A), và góc B = 60 độ. Bước 1: góc C = 180 - 40 - 60 = 80 độ. Bước 2: cạnh b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 độ) / sin 40 độ = (15 x 0,8660) / 0,6428, xấp xỉ 20,2094. Bước 3: cạnh c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 độ) / sin 40 độ, xấp xỉ 22,9813. Diện tích tam giác, dùng 1/2 x a x b x sin C, xấp xỉ 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 độ), tức khoảng 149,2681 đơn vị vuông.
Định lý cosin: hai cạnh và góc xen giữa (SAS), hoặc ba cạnh (SSS)
Định lý cosin tổng quát hóa định lý Pythagore cho các tam giác không có góc vuông: c² = a² + b² - 2ab x cos(C), trong đó C là góc xen giữa hai cạnh a và b. Khi C đúng bằng 90 độ, cos(C) = 0 và công thức thu gọn chính xác thành định lý Pythagore, a² + b² = c².
Ví dụ minh họa: các cạnh a = 8 và b = 11, với góc xen giữa C = 37 độ. Bước 1: c² = 8² + 11² - 2 x 8 x 11 x cos(37 độ) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, xấp xỉ 185 - 140,55 = 44,45, nên c xấp xỉ 6,6663. Bước 2: khi đã biết cả ba cạnh, các góc còn lại suy ra từ công thức biến đổi, cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc), cho góc A xấp xỉ 46,2375 độ và góc B xấp xỉ 96,7625 độ (cộng với C = 37 độ thành 180 độ, đúng như yêu cầu). Diện tích, 1/2 x a x b x sin(C), xấp xỉ 1/2 x 8 x 11 x sin(37 độ), tức khoảng 26,4799 đơn vị vuông.
Trường hợp nhập nhằng SSA, giải thích thẳng thắn
Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa (SSA) -- ví dụ cạnh a, cạnh b và góc A, trong đó A không phải góc giữa a và b -- vẫn có thể áp dụng định lý sin, nhưng số tam giác hợp lệ thỏa mãn các số đo đã cho không phải lúc nào cũng là một. Tùy giá trị cụ thể, có thể không có tam giác nào (góc và các cạnh đã cho không thể khép thành một tam giác), đúng một tam giác, hoặc đúng hai tam giác phân biệt, cả hai đều hợp lệ.
Yếu tố quyết định là chiều cao h = b x sin(A), so sánh với cạnh a. Nếu a nhỏ hơn h, không có tam giác nào tồn tại. Nếu a bằng h, có đúng một tam giác, với góc vuông tại đỉnh đối diện cạnh a. Nếu h nhỏ hơn a và a nhỏ hơn b, tồn tại hai tam giác phân biệt. Nếu a lớn hơn hoặc bằng b, có đúng một tam giác.
Ví dụ minh họa cho trường hợp nhập nhằng: cạnh a = 20, cạnh b = 25, góc A = 40 độ. Ở đây h = 25 x sin(40 độ), xấp xỉ 16,0697, và vì 16,0697 nhỏ hơn 20 còn 20 nhỏ hơn 25, có hai tam giác phân biệt thỏa mãn các số đo này. Giải cả hai: tam giác thứ nhất có góc B xấp xỉ 53,4641 độ, góc C xấp xỉ 86,5359 độ và cạnh c xấp xỉ 31,0576; tam giác thứ hai có góc B xấp xỉ 126,5359 độ, góc C xấp xỉ 13,4641 độ và cạnh c xấp xỉ 7,2446. Cả hai tam giác đều dùng đúng cùng bộ dữ kiện ban đầu a = 20, b = 25 và A = 40 độ, nhưng lại mô tả hai hình dạng thực sự khác nhau -- đó chính là lý do trường hợp SSA được gọi là nhập nhằng, và vì sao nó đòi hỏi bước kiểm tra bổ sung mà AAS, ASA và SAS không cần.
Chọn đúng công thức trong thực tế
Trong các lĩnh vực như trắc địa, hàng hải và kỹ thuật, lời khuyên thực tiễn là xác định xem ba số đo nào thực sự có sẵn trước khi chọn công thức, thay vì mặc định dùng một định lý theo thói quen. Nếu đo được hai góc (thường gặp khi tam giác đạc từ hai điểm quan sát cố định), định lý sin áp dụng trực tiếp và không nhập nhằng. Nếu đo được hai khoảng cách và góc giữa chúng (thường gặp khi hai cạnh được cắm mốc từ cùng một đỉnh), định lý cosin áp dụng trực tiếp và không nhập nhằng.
Trường hợp SSA xuất hiện thường xuyên hơn ta tưởng -- chẳng hạn khi đo một cạnh đã biết, một cạnh thứ hai, và một góc không nằm giữa chúng về mặt vật lý -- và vì nó có thể âm thầm cho ra hai đáp án hợp lệ, nên khi SSA là tổ hợp duy nhất có sẵn, cần kiểm tra tường minh phép so sánh a với h nêu trên, thay vì mặc nhiên cho rằng tam giác tính ra đầu tiên là tam giác duy nhất khớp với dữ liệu.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào nên dùng định lý sin thay vì định lý cosin?
Dùng định lý sin khi biết hai góc và một cạnh bất kỳ (AAS hoặc ASA), trường hợp luôn có đúng một nghiệm, hoặc khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa (SSA), trường hợp cần kiểm tra tính nhập nhằng. Dùng định lý cosin khi biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS) hoặc cả ba cạnh (SSS).
Trường hợp nhập nhằng SSA là gì?
SSA nghĩa là biết hai cạnh và một góc không xen giữa. Tùy giá trị cụ thể, tổ hợp này có thể cho ra không, một hoặc hai tam giác hợp lệ, khác với AAS, ASA hay SAS vốn luôn cho đúng một. Ví dụ, với a = 20, b = 25 và góc A = 40 độ, có hai tam giác phân biệt cùng thỏa mãn các số đo đã cho -- một có góc B xấp xỉ 53,4641 độ, một có góc B xấp xỉ 126,5359 độ.
Làm sao tìm cạnh còn thiếu bằng định lý cosin?
Áp dụng c² = a² + b² - 2ab x cos(C), trong đó C là góc xen giữa hai cạnh a và b, rồi lấy căn bậc hai. Với a = 8, b = 11 và C = 37 độ, c² = 64 + 121 - 176 x cos(37 độ), xấp xỉ 44,45, nên c xấp xỉ 6,6663.
Làm sao tìm cạnh còn thiếu bằng định lý sin?
Thiết lập tỉ số a / sin(A) = b / sin(B) rồi giải ra cạnh chưa biết. Với góc A = 40 độ, cạnh a = 15 và góc B = 60 độ, cạnh b = (15 x sin 60 độ) / sin 40 độ, xấp xỉ 20,2094.
Định lý cosin có giải được tam giác chỉ từ ba cạnh (SSS) không?
Có. Khi biết cả ba cạnh, định lý cosin được biến đổi để giải từng góc: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc). Định lý sin không thể dùng để bắt đầu một bài SSS, vì nó cần ít nhất một góc đã biết để thiết lập tỉ số, điều mà SSS không cung cấp trực tiếp.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).