Сложный процент против простого: в чём реальная разница

Что такое простой процент

Простой процент начисляется только на первоначальную сумму долга по формуле I = P x r x t, где P -- сумма долга, r -- годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, а t -- срок в годах. Поскольку проценты никогда не добавляются к сумме, на которую начисляются дальнейшие проценты, баланс при простом проценте увеличивается ровно на одну и ту же сумму в каждом периоде. Например, $10 000, вложенные под простую годовую ставку 5%, приносят $500 в первый год, $500 во второй год и по $500 в каждый последующий год, так что итоговый баланс равен P + (P x r x t).

Простой процент применяется в некоторых видах краткосрочного кредитования, например в отдельных автокредитах, краткосрочных векселях и некоторых расчётах по казначейским векселям, поскольку его легко вычислить и предсказать. Его отличительная черта -- линейный рост: график баланса во времени при простом проценте представляет собой прямую линию, так как каждый период добавляет одинаковую, неизменную сумму процентов независимо от того, как долго удерживается вклад.

Что такое сложный процент

Сложный процент начисляется и на первоначальную сумму долга, и на все уже добавленные к балансу проценты по формуле A = P(1 + r/n)^(nt), где A -- итоговая сумма, P -- сумма долга, r -- годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, n -- число начислений процентов в год, а t -- срок в годах. Поскольку проценты каждого периода становятся частью базы для расчёта следующего периода, баланс растёт с ускорением, а не постоянными темпами.

Частота капитализации n существенно влияет на результат: n = 1 при годовой капитализации, n = 12 при ежемесячной, n = 365 при ежедневной и так далее. По мере того как n растёт в сторону непрерывной капитализации, коэффициент роста приближается к математической константе e (число Эйлера) в степени rt, хотя практическая разница между ежемесячной и ежедневной капитализацией невелика для большинства потребительских сберегательных и кредитных продуктов.

Пример расчёта: $10 000 под 5% за 10, 20 и 30 лет

В таблице ниже сравнивается сумма долга $10 000, растущая под 5% годовых, при простом проценте и при сложном проценте с ежемесячной капитализацией (n = 12), рассчитанная по формуле A = P(1 + r/n)^(nt) для колонки сложного процента и I = P x r x t для колонки простого процента. Разрыв между двумя методами существенно увеличивается по мере удлинения временного горизонта, что показывает: частота капитализации и срок значат для долгосрочного результата больше, чем сама заявленная ставка.

Правило 72: быстрый способ прикинуть в уме

Правило 72 -- это приближённая оценка того, за сколько лет сумма удвоится при заданной годовой ставке сложного процента; она рассчитывается делением 72 на процентную ставку, выраженную целым числом. Например, при годовой ставке 6% правило 72 даёт оценку срока удвоения 72 / 6 = 12 лет; при 9% оценка составляет 72 / 9 = 8 лет; при 12% -- 72 / 12 = 6 лет.

Правило 72 наиболее точно для годовых ставок сложного процента примерно в диапазоне от 6% до 10%, где погрешность аппроксимации минимальна; при очень низких или очень высоких ставках оценка сильнее расходится с точным сроком удвоения, вычисленным по полной формуле сложного процента. Применительно к примеру с 5% выше, ежемесячная капитализация даёт эффективную годовую ставку около 5,12%, что даёт оценку срока удвоения около 72 / 5,12, то есть примерно 14,1 года -- это согласуется с тем, что баланс в таблице примерно удваивается между отметками в 10 и 20 лет.

Почему частота капитализации имеет значение

При одной и той же заявленной годовой ставке более частая капитализация даёт более высокую эффективную годовую ставку и, соответственно, больший итоговый баланс. Ставка 5% с ежемесячной капитализацией (n = 12) даёт эффективную годовую ставку около 5,12%, что выше эффективной ставки 5,00% при годовой капитализации (n = 1), поскольку проценты добавляются к балансу -- и начинают приносить собственные проценты -- двенадцать раз в год вместо одного.

Именно поэтому в финансовых раскрытиях часто разделяют номинальную (заявленную) процентную ставку и годовую процентную доходность (APY), или эффективную годовую ставку, которая учитывает частоту капитализации. Два сберегательных продукта с одинаковой номинальной ставкой могут давать разную фактическую доходность, если один капитализируется ежедневно, а другой -- ежегодно, поэтому для корректного сравнения финансовых продуктов нужно сравнивать эффективные годовые ставки, а не только номинальные.

Практические выводы для сбережений и заимствований

Сложный процент работает в пользу вкладчиков и инвесторов: балансы, оставленные нетронутыми на длинных горизонтах, непропорционально выигрывают от ускоряющегося роста, показанного в примере расчёта, поэтому раннее начало накоплений обычно считается более важным, чем размер отдельного взноса. Пенсионные счета, в частности, опираются на десятилетия капитализации, чтобы превратить умеренные регулярные взносы в значительно больший баланс к моменту, когда он понадобится.

Та же математика работает против заёмщиков: остатки по кредитным картам, которые обычно капитализируются ежедневно или ежемесячно по высоким годовым ставкам, могут быстро расти, если вносить только минимальные платежи, поскольку неоплаченные проценты добавляются к балансу и сами начинают приносить проценты. Понимание того, что формулы сложного процента одинаково применимы к росту сбережений и к росту долга, играет ключевую роль в оценке и инвестиционных продуктов, и стоимости заимствований.

Часто задаваемые вопросы

Источники

1. U.S. Securities and Exchange Commission, Office of Investor Education and Advocacy. "Compound Interest Calculator." Investor.gov.
2. FINRA Investor Education Foundation. "The Rule of 72." FINRA.org.
3. Ross SA, Westerfield RW, Jaffe J, Jordan BD. Corporate Finance. 12th ed. McGraw-Hill Education, 2019.
4. Fisher I. The Theory of Interest. Macmillan, 1930.