三角形計算機 — 辺・角度・面積

三角形の種類と三角不等式

三角形は辺の長さと最大角によって分類されます。以下の表は両方の分類方法をまとめたものです。

三角不等式の定理では、任意の2辺の和が残りの1辺より大きくなければなりません（a + b > c、a + c > b、b + c > a）。この条件を満たさない3つの長さは三角形を形成できず、その場合、この計算機は結果を返しません。
「2辺 + 挟角」モードでは、入力する角度Cは厳密に0°より大きく180°より小さくなければなりません。0°または180°では三角形が直線に潰れてしまうためです。
どんな三角形でも3つの内角の和は常にちょうど180°になり、この計算機は3つ目の角度を導く際の検算としてこの性質を利用します。

どんな三角形も、3つの独立した測定値によって完全に決まります。最も一般的なのは3辺（SSS）、2辺とその間の角度（SAS）、あるいは直角三角形の場合は2つの垂直な辺です。これらのいずれからも、標準的な三角法の恒等式を使って、残りのすべての辺、角度、面積、周長を導くことができます。

この計算機は3つの入力モードすべてに対応しています。「3辺」モードでは、解を求める前に三角不等式（各辺は他の2辺の和より短くなければならない）を検証します。この条件を満たさない3つの長さは三角形を形成できないためです。

ヘロンの公式: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))、s = (a+b+c)/2

余弦定理（辺を求める）: c² = a² + b² − 2ab·cos C

余弦定理（角度を求める）: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)

直角三角形: c = √(a² + b²)

ヘロンの公式は、角度を知らなくても、3辺の長さだけから三角形の面積を直接計算します。余弦定理は、残りの辺を求める（SASモード）ことと、3辺の長さから3つの角度すべてを求めることの両方に使われます。

3辺から三角形の面積を求めるにはどうすればよいですか？

ヘロンの公式を使います：A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))。sは半周長(a+b+c)/2です。13-14-15の三角形の場合、s = 21で、A = √(21×8×7×6) = √7056 = 84平方単位ちょうどになります。

13-14-15の三角形の角度はいくつですか？

辺a = 13、b = 14、c = 15のとき、余弦定理から角度A ≈ 53.13°、角度B ≈ 59.49°、角度C ≈ 67.38°となり、（丸め誤差を考慮すると）合計は180°になります。

2辺と挟角から三角形を解くにはどうすればよいですか？

余弦定理を使って残りの辺を求めます：c² = a² + b² − 2ab·cos C。次に、角度について整理した余弦定理、または正弦定理を使って、残り2つの角度を求めます。

三角不等式とは何ですか？

三角不等式とは、三角形の任意の2辺の長さの和が、残りの1辺の長さより大きくなければならないという法則です。どの組み合わせについてもこれが成り立たない場合、その3つの長さは三角形を形成できません。

直角三角形の斜辺はどうやって求めますか？

斜辺は、2辺の2乗の和の平方根に等しくなります：c = √(a² + b²)。2辺が3と4の直角三角形の斜辺は√(9+16) = √25 = 5です。

三角形が2つの直角を持つことはありますか？

いいえ。平面上の三角形の3つの内角の和は常にちょうど180°になるため、90°の角が2つあると、残りの角には0°しか残らず、これは有効な三角形にはなりません。

Weisstein, Eric W. 「Heron's Formula」 and 「Law of Cosines.」 MathWorld — A Wolfram Web Resource.
Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).