2つの定理、2つの異なる既知条件の組み合わせ
直角三角形でない三角形——斜三角形と呼ばれます——はすべて、3つの既知の測定値から完全に解くことができますが、どの公式が使えるかは、実際にどの3つの測定値がわかっているかによって決まります。正弦定理と余弦定理は、これを行うための2つの汎用的なツールであり、それぞれが異なる既知条件の組み合わせに適しています。
| 既知の値 | 方法 | 備考 |
|---|---|---|
| 2角+任意の1辺(AASまたはASA) | 正弦定理 | 常にちょうど1つの解 |
| 2辺+挟角(SAS) | 余弦定理 | 常にちょうど1つの解 |
| 3辺(SSS) | 余弦定理 | 常にちょうど1つの解(三角不等式を満たす場合) |
| 2辺+非挟角(SSA) | 正弦定理(要注意) | 0個、1個、または2個の解が起こり得る——曖昧なケース |
正弦定理:2角と1辺(AAS/ASA)
正弦定理は、どんな三角形でも、ある辺の長さとその対角のサインの比がすべての辺で同じであることを述べています:a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。2つの角と任意の1辺がわかっていれば、三角形の角の和が180度になるという事実から第3の角が直ちにわかり、残り2つの辺はこの比からそのまま求まります。
計算例:角A = 40度、辺a = 15(角Aの対辺)、角B = 60度とします。手順1:角C = 180 - 40 - 60 = 80度。手順2:辺b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60度) / sin 40度 = (15 x 0.8660) / 0.6428、約20.2094。手順3:辺c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80度) / sin 40度、約22.9813。この三角形の面積は、1/2 x a x b x sin C を使うと、約1/2 x 15 x 20.2094 x sin(80度)、約149.2681平方単位です。
余弦定理:2辺と挟角(SAS)、または3辺(SSS)
余弦定理は、ピタゴラスの定理を直角を持たない三角形に一般化したものです:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C)。ここでCは辺aと辺bの間に挟まれた角です。Cがちょうど90度のとき、cos(C) = 0となり、この公式はちょうどピタゴラスの定理 a^2 + b^2 = c^2 に帰着します。
計算例:辺a = 8、辺b = 11、挟角C = 37度とします。手順1:c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37度) = 64 + 121 - 176 x 0.7986、約185 - 140.55 = 44.45、したがってcは約6.6663です。手順2:3辺すべてがわかったら、残りの角は式を変形した cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) から求まり、角Aは約46.2375度、角Bは約96.7625度になります(C = 37度と合わせて合計180度になり、条件を満たしています)。面積 1/2 x a x b x sin(C) は、約1/2 x 8 x 11 x sin(37度)、約26.4799平方単位です。
SSAの曖昧なケースを正直に説明する
2辺と非挟角(SSA)がわかっている場合——例えば辺a、辺b、角Aで、Aがaとbの間の角ではない場合——正弦定理は依然として適用できますが、与えられた測定値を満たす有効な三角形の数は常に1つとは限りません。具体的な値によっては、三角形が0個(与えられた角と辺では閉じた三角形を作れない)、ちょうど1個、あるいはちょうど2個の異なる三角形が存在する場合があります。
この決め手となるのは、高さ h = b x sin(A) と辺aとの比較です。aがhより小さければ三角形は存在しません。aがhと等しければ、辺aの対頂点に直角を持つ三角形がちょうど1個存在します。hがaより小さく、かつaがbより小さければ、2つの異なる三角形が存在します。aがb以上であれば、ちょうど1個の三角形が存在します。
曖昧なケースの計算例:辺a = 20、辺b = 25、角A = 40度とします。ここで h = 25 x sin(40度)、約16.0697です。16.0697は20より小さく、20は25より小さいため、これらの測定値を満たす異なる三角形が2個存在します。両方を解くと、1つ目は角Bが約53.4641度、角Cが約86.5359度、辺cが約31.0576です。2つ目は角Bが約126.5359度、角Cが約13.4641度、辺cが約7.2446です。どちらの三角形も、a = 20、b = 25、A = 40度という全く同じ出発値を使っていますが、2つの本質的に異なる形を表しています——これこそがSSAのケースが「曖昧」と呼ばれる理由であり、AAS・ASA・SASでは不要なこの追加確認が必要となる理由です。
実務における正しい公式の選び方
測量・ナビゲーション・工学といった分野での実務的な指針は、習慣的にどちらかの定理を既定として使うのではなく、まずどの3つの測定値が実際に得られているかを特定してから公式を選ぶことです。2つの角が測定されている場合(2つの固定観測点から三角測量を行う際によくあるケース)、正弦定理を直接、曖昧さなく適用できます。2つの距離とその間の角が測定されている場合(1つの頂点から2辺を測量する際によくあるケース)、余弦定理を直接、曖昧さなく適用できます。
SSAのケースは見た目以上によく発生します——例えば、既知の1辺、もう1辺、そしてそれらの間には物理的に位置しない角を測定する場合などです。そしてこのケースは気づかないうちに2つの有効な答えを生み出す可能性があるため、SSAが唯一利用可能な組み合わせであるときは、最初に計算した三角形だけが条件に合うと決めつけるのではなく、上述のaとhの比較を明示的に確認しておく価値があります。
よくある質問
余弦定理ではなく正弦定理を使うべきなのはどんなときですか?
2つの角と任意の1辺(AASまたはASA)がわかっている場合は正弦定理を使います。これは常にちょうど1つの解を持ちます。2辺と非挟角(SSA)がわかっている場合も正弦定理を使いますが、この場合は曖昧なケースの確認が必要です。2辺と挟角(SAS)、または3辺すべて(SSS)がわかっている場合は、代わりに余弦定理を使います。
SSAの曖昧なケースとは何ですか?
SSAとは、2辺と非挟角がわかっている状態を指します。具体的な値によっては、この組み合わせは0個、1個、または2個の有効な三角形を生じることがあり、常にちょうど1個を生じるAAS、ASA、SASとは異なります。例えば a = 20、b = 25、角A = 40度の場合、与えられた測定値を満たす異なる三角形が2個存在します。1つは角Bが約53.4641度、もう1つは角Bが約126.5359度です。
余弦定理を使って未知の辺を求めるにはどうしますか?
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C) を適用し、平方根を取ります。ここでCは辺aと辺bの間に挟まれた角です。a = 8、b = 11、C = 37度の場合、c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37度)、約44.45、したがってcは約6.6663です。
正弦定理を使って未知の辺を求めるにはどうしますか?
比 a / sin(A) = b / sin(B) を立てて未知の辺について解きます。角A = 40度、辺a = 15、角B = 60度の場合、辺b = (15 x sin 60度) / sin 40度、約20.2094です。
余弦定理は3辺だけ(SSS)から三角形を解けますか?
解けます。3辺すべてがわかっていれば、余弦定理を変形して各角を求めることができます:cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)。正弦定理はSSSの問題を最初から解くのには使えません。なぜなら、比を立てるために少なくとも1つの既知の角が必要であり、SSSはそれを直接与えないからです。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).