ピタゴラスの定理が述べていること
直角三角形——ちょうど1つの90度の角を持つ三角形——では、斜辺(直角の対辺)の長さの2乗が、他の2辺(脚と呼ばれる)の長さの2乗の和に等しくなります。これを式で書くと a^2 + b^2 = c^2 となり、aとbは2つの脚、cは斜辺です。この関係は古代ギリシャの数学者ピタゴラスにちなんで名付けられていますが、同じ数値関係はピタゴラス以前から、正式な証明とは別に、バビロニアなど古代の数学者たちに知られ、使われていたことが証拠から示されています。
この定理が成り立つのは、平面(ユークリッド幾何学)上の直角三角形に限られます。直角を持たない三角形には成り立たず、そうした場合はより一般的な余弦定理が必要になります。また、球面のような曲面上に描かれた三角形についても、幾何学そのものが異なるため、厳密には成り立ちません。
なぜ成り立つのか:古典的な並べ替えによる証明
この定理の最もよく知られた説明の1つに、しばしば「並べ替えの証明」と呼ばれるものがあります。これは、同じ直角三角形(脚a・b、斜辺c)を4つ用意し、1辺の長さが(a + b)の1つの大きな正方形の中に配置するというものです。ある配置では、4つの三角形が1辺の長さcの、傾いた小さな内側の正方形を取り囲む形になります。そのため、大きな正方形の面積は4つの三角形とその内側の正方形の面積の和に分割されます:(a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2。これを整理すると (a + b)^2 = 2ab + c^2 になります。
左辺を代数的に展開すると (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 です。同じ正方形の総面積を表す2つの式を等しいとおくと、a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 となります。両辺から2abを引くと a^2 + b^2 = c^2 が残ります——これがピタゴラスの定理であり、同じ正方形の面積を2通りの方法で計算し比較することから導かれます。この証明は、これまでに発表されてきた何百もの証明の1つにすぎません。エリシャ・ルーミスの著作『The Pythagorean Proposition』は、この定理の367通りの異なる証明をまとめています。
三平方数:3-4-5とその先
三平方数とは、a^2 + b^2 = c^2 を厳密に満たす正の整数の組a、b、cのことで、これは丸め誤差なしに、その3つの整数の辺の長さを持つ直角三角形が存在することを意味します。最小かつ最もよく知られた組は3-4-5で、3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 となります。
既知の組の任意の整数倍もまた有効な組になります。例えば3-4-5を2倍すると6-8-10、3倍すると9-12-15となり、どちらも a^2 + b^2 = c^2 を満たします。3-4-5、そして下表の5-12-13や8-15-17のように、より小さな組の倍数ではない組は「原始ピタゴラス数」と呼ばれます。
| 脚a | 脚b | 斜辺c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
実際の使い方:対角線と距離
長方形の対角線は、隣接する2辺とともに直角三角形を成すため、ピタゴラスの定理を使えば対角線の長さを直接求められます:対角線 = (長さ^2 + 幅^2) の平方根。6×8の長方形の対角線は (6^2 + 8^2) の平方根 = (36 + 64) の平方根 = 100の平方根 = ちょうど10単位です——これは3-4-5の倍数である6-8-10の組です。
同じ原理を3次元に拡張すると、直方体の空間対角線を、定理を2回適用して求められます。まず底面の長方形の対角線を求め、次にその対角線と直方体の高さを組み合わせます。12×9×8の直方体の空間対角線は (12^2 + 9^2 + 8^2) の平方根 = (144 + 81 + 64) の平方根 = 289の平方根 = ちょうど17単位です。2点間の直線距離を求める座標距離公式 d = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) の平方根 も、2点間の水平方向と垂直方向の差にこの定理をそのまま適用したものです。点(1,2)と(4,6)の場合、距離は (3^2 + 4^2) の平方根 = 25の平方根 = 5です。
逆定理:3-4-5を使って直角を確認する
ピタゴラスの定理の逆もまた真であり、実務では頻繁に利用されています。3つの実測された辺の長さが a^2 + b^2 = c^2 を満たすなら、その角度を直接測定していなくても、その三角形は最も長い辺の対角に直角を持つはずです。この逆定理は、建築や大工仕事で直角(90度)の角を確認・設定するために使われる伝統的な3-4-5法の根拠になっています。1辺に沿って3単位、それに垂直な辺に沿って4単位を測り、その2点間の対角線がちょうど5単位であることを確認すれば、その角が真の直角であることが確かめられます。
これが成り立つのは、逆定理が一意の結果を保証するからです。a^2 + b^2 = c^2 を満たす3つの正の長さは、鋭角三角形にも鈍角三角形にもなり得ず、必ず直角三角形を成し、直角は最も長い辺cの対角に位置します。6-8-10や9-12-15のような3-4-5の組の倍数であれば、より大きな角を確認する場合にも同じように使えます。
よくある質問
ピタゴラスの定理の公式は何ですか?
a^2 + b^2 = c^2 で、aとbは直角三角形の2つの脚、cは直角の対辺である斜辺です。これは平面上の直角三角形にのみ成り立ちます。
ピタゴラスの定理はどうやって証明しますか?
古典的な方法の1つである並べ替えの証明では、同じ直角三角形を4つ、1辺(a + b)の正方形の中に配置し、その総面積を2通りの方法で計算します。一度は (a + b)^2 として、もう一度は4つの三角形と面積c^2の傾いた内側の正方形として計算します。この2つの面積の式を等しいとおいて代数的に整理すると a^2 + b^2 = c^2 が得られます。これ以外にも何百もの証明が発表されており、エリシャ・ルーミスの著作はそのうち367通りをまとめています。
三平方数とは何ですか、また最小の組は何ですか?
三平方数とは、a^2 + b^2 = c^2 を厳密に満たす正の整数の組a、b、cのことです。最小かつ最も一般的な組は3-4-5で、3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 となります。その他の代表的な組には5-12-13、8-15-17、7-24-25、9-40-41があります。
ピタゴラスの定理は長方形の対角線を求めるのにどう使われますか?
長方形の対角線は、長方形の長さと幅を2つの脚とする直角三角形の斜辺を成すため、対角線 = (長さ^2 + 幅^2) の平方根となります。6×8の長方形の対角線は (36 + 64) の平方根 = 100の平方根 = ちょうど10単位です。
ピタゴラスの定理は曲面でも成り立ちますか?
成り立ちません。この定理が厳密に成り立つのは、平面(ユークリッド幾何学)上に描かれた直角三角形に限られます。球面のような曲面上では、角度と辺の長さの関係が異なる非ユークリッド幾何学に支配されており、90度の角を持つ三角形であっても a^2 + b^2 = c^2 は厳密には成り立ちません。
建築家はどのように3-4-5の法則を使って直角を確認しますか?
ピタゴラスの定理の逆により、3つの実測された長さが a^2 + b^2 = c^2 を満たすなら、最も長い辺の対角の角は必ず90度になります。1辺に沿って3単位、それに垂直な辺に沿って4単位を印し、その2点間の距離がちょうど5単位であることを確認すれば、真の直角の角が検証できます——この方法は建築や大工仕事でよく使われます。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).