正弦定理をいつ使うか
正弦定理は三角形を解く2つのケースに直接適用できます。それ以外のケースには余弦定理が必要です。
| 既知の値 | 最適な方法 |
|---|---|
| 2角 + 任意の1辺（AASまたはASA） | 正弦定理——曖昧さのない単一の解 |
| 2辺 + 非挟角（SSA） | 正弦定理を使うが、曖昧な場合（三角形が0、1、2個のいずれかになりうる）を確認する必要がある |
| 3辺（SSS） | 余弦定理 |
| 2辺 + 挟角（SAS） | 余弦定理 |
- この計算機のAAS/ASA入力モード（2角と1辺）は常にちょうど1つの有効な解を持つため、ここでは曖昧なSSAのケースは生じません。
- どんな三角形でも3つの角の和はちょうど180°でなければなりません。入力された2つの角度の合計がすでに180°以上であれば、有効な三角形は存在せず、この計算機は結果を返しません。
正弦定理とは？
正弦定理とは、どんな三角形でも、辺の長さとその対角の正弦の比が、3辺すべてにわたって一定であるという法則です：a / sin A = b / sin B = c / sin C。これにより、十分な情報がわかっていれば、残りの辺や角度を求めることができます。
2つの角度と、そのうち一方の対辺がわかっている場合（ここで扱うAASまたはASAのケース）、三角形は完全かつ一意に決まります——これは、2辺と挟角ではない角度がわかっているSSA（2辺と非挟角）のケースとは異なります。SSAでは、有効な三角形が2つ、1つ、あるいはまったく存在しない場合があり、これは曖昧な場合（ambiguous case）として知られています。
この正弦定理計算機の使い方
- 角度Aと、角Aの対辺である辺aの長さを入力します。
- 2つ目の既知の角度である角度Bを入力します。
- この計算機では、3つ目の角度（C）が正でなければならないため、角度Aと角度Bの合計は180°未満である必要があります。
- 正弦定理から導かれる辺b、角度C、辺c、そして三角形の面積を確認します。
正弦定理の公式
角度の合計（180° − A − B）から角度Cが求まると、正弦定理の比a / sin Aを使って、残り2辺の両方を求めます。
よくある間違い
- 辺aを、角Aの対辺ではなく角Bの対辺であるかのように入力してしまうこと——正弦定理は各辺を厳密にその対角と対応づけます。
- 合計が180°以上になる2つの角度を入力してしまい、3つ目の角度に有効な余地が残らなくなること。
- 正弦定理（辺と対角の正弦の比）と余弦定理（SASやSSSのケースで使う）を混同してしまうこと。
- 角度をラジアンではなく度で入力する必要があることを忘れてしまうこと。
よくある質問
正弦定理の公式は何ですか？
a / sin A = b / sin B = c / sin Cです。それぞれの辺は、その真向かいにある角の正弦と対応づけられています。
正弦定理を使って残りの辺を求めるにはどうすればよいですか？
既知の辺と角度で比を立て、求める辺について解きます：b = (a × sin B) / sin A。A = 30°、a = 10、B = 45°の場合、辺b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0.707107) / 0.5 ≈ 14.1421です。
A = 30°、B = 45°のとき、3つ目の角度はいくつですか？
三角形の3つの角の和は180°になるため、角度C = 180° − 30° − 45° = 105°です。
正弦定理における曖昧な場合とは何ですか？
曖昧な場合（SSAのケース）は、2辺と非挟角がわかっているときに生じます——値によって、条件を満たす三角形が0個、1個、あるいは2個存在することがあります。この計算機のAAS入力モードでは常にちょうど1つの解があるため、この曖昧さは生じません。
正弦定理を使って三角形の面積を求めるにはどうすればよいですか？
2辺とその間の角度がわかれば、面積 = ½ × 辺₁ × 辺₂ × sin(挟角)です。a = 10、b ≈ 14.1421、挟角C = 105°の場合、面積 = ½ × 10 × 14.1421 × sin(105°) ≈ 68.3013平方単位です。
余弦定理ではなく正弦定理を使うべきなのはどんなときですか？
2つの角度と任意の1辺（AAS/ASA）、または2辺と非挟角（SSA）がわかっているときは正弦定理を使います。3辺（SSS）や2辺と挟角（SAS）がわかっているときは余弦定理を使います。これらのケースは正弦定理では直接解けないためです。
参考文献
- Weisstein, Eric W. 「Law of Sines.」 MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).