余弦定理と三平方の定理の関係
以下の表は、挟角が変化するにつれて余弦定理がどう振る舞うかを、90°の特別な場合である三平方の定理と対比して示しています。
| 角度 C | cos C | c²への影響 |
|---|---|---|
| 90°（直角） | 0 | c² = a² + b²（三平方の定理そのもの） |
| 90°未満（鋭角） | 正 | c² < a² + b²（直角の場合よりcが短くなる） |
| 90°超（鈍角） | 負 | c² > a² + b²（直角の場合よりcが長くなる） |
- 余弦定理は直角三角形に限らず、どんな三角形にも成り立ちます——これは一般的な場合であり、三平方の定理はその90°における特別な場合です。
- 角度Cは厳密に0°より大きく180°より小さくなければなりません。いずれかの境界では3点が一直線上に並んでしまい、三角形が存在しなくなります。
余弦定理とは？
余弦定理は、三角形の3辺とその1つの角の余弦を関係づけます：c² = a² + b² − 2ab·cos C。これは三平方の定理を一般化したものです——角度Cがちょうど90°のとき、cos C = 0となり、この公式はおなじみの三平方の関係式c² = a² + b²に帰着します。
2辺とその間の挟角がわかっている場合（ここで扱うSASのケース）、余弦定理を使って残りの1辺を直接求められます。同じ公式を変形すれば、残り2つの角度も求められます。
この余弦定理計算機の使い方
- 既知の2辺、辺aと辺bを入力します。
- 辺aと辺bの間の挟角である角度Cを、厳密に0°より大きく180°より小さい範囲で入力します。
- 辺c（残りの辺）、角度Aと角度B、そして三角形の面積を確認します。
余弦定理の公式
同じ基本の関係式を変形することで、1辺を求めることも、3辺すべてがわかった後に角度を求めることもできます。
よくある間違い
- 実際には辺aと辺bの間にない角度を入力してしまうこと——SASのケースでは、余弦定理には挟角が必要です。
- c² = a² + b² − 2ab·cos Cのマイナス符号を忘れてしまうこと——角度が鋭角でcos Cが正のときは、特に見落としやすい部分です。
- 2つの角度と1辺しかわかっていないときに、残りの辺を求めるために余弦定理を使ってしまうこと——このケースには代わりに正弦定理を使う必要があります。
- 角度Cを、想定されている度ではなくラジアンで入力してしまうこと。
よくある質問
余弦定理の公式は何ですか？
c² = a² + b² − 2ab·cos Cです。Cは辺aと辺bの間の挟角で、cは角Cの対辺です。
余弦定理を使って残りの辺を求めるにはどうすればよいですか？
公式を適用した後、平方根を取ります：c = √(a² + b² − 2ab·cos C)。a = 5、b = 7、C = 49°の場合、c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28.076 ≈ 5.2987です。
余弦定理を使って角度を求めるにはどうすればよいですか？
公式を余弦について整理し、逆余弦を取ります：A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc))。a = 5、b = 7、c ≈ 5.2987の場合、角度A ≈ 45.4117°です。
余弦定理は三平方の定理とどう関係していますか？
挟角Cがちょうど90°のとき、cos C = 0となり、余弦定理c² = a² + b² − 2ab·cos Cは三平方の定理c² = a² + b²にちょうど帰着します。
正弦定理ではなく余弦定理を使うのはどんなときですか？
3辺（SSS）または2辺と挟角（SAS）がわかっているとき、余弦定理を使います——これらは正弦定理では直接解けないケースです。2つの角度と1辺、または2辺と非挟角がわかっているときは正弦定理を使います。
辺が5、7で挟角が49°の三角形の面積はいくつですか？
面積 = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0.5 × 35 × 0.754710 ≈ 13.2074平方単位です。
参考文献
- Weisstein, Eric W. 「Law of Cosines.」 MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).