Segni nei quadranti e angoli notevoli
In ciascuno dei quattro quadranti seno, coseno e tangente seguono uno schema di segni fisso; in corrispondenza degli angoli di riferimento notevoli assumono inoltre valori esatti.
| Quadrante | Intervallo dell'angolo | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | positivo | positivo | positivo |
| II | 90°–180° | positivo | negativo | negativo |
| III | 180°–270° | negativo | negativo | positivo |
| IV | 270°–360° | negativo | positivo | negativo |
- L'angolo di riferimento è sempre l'angolo acuto (fra 0° e 90°) compreso fra il lato terminale e l'asse x; combinato con lo schema dei segni del quadrante, permette di ricavare i valori esatti di qualunque angolo a partire dai valori notevoli di 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.
- A 90° e a 270° (e presso i rispettivi angoli coterminali) la tangente non è definita, poiché in quei punti il coseno vale zero.
- Gli angoli maggiori di 360° e quelli negativi vengono dapprima ricondotti a un angolo coterminale nell'intervallo [0°, 360°); solo dopo si determinano quadrante e angolo di riferimento.
Che cos'è la circonferenza goniometrica?
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine del piano cartesiano. Preso un angolo θ misurato in senso antiorario dal semiasse positivo delle x, il punto in cui il lato terminale dell'angolo interseca la circonferenza ha coordinate (cos θ, sin θ): è proprio questo a rendere la circonferenza goniometrica il fondamento, visivo e insieme operativo, di tutte le funzioni trigonometriche.
Poiché il raggio vale esattamente 1, seno e coseno si leggono direttamente come coordinate, senza alcun fattore di scala. Il calcolatore riporta inoltre l'angolo coterminale (l'angolo equivalente compreso fra 0° e 360°), il quadrante in cui cade il lato terminale e l'angolo di riferimento (l'angolo acuto rispetto all'asse x più vicino): insieme, questi tre dati spiegano segno e valore assoluto delle funzioni trigonometriche.
Come si usa questo calcolatore della circonferenza goniometrica
- Inserisci il valore dell'angolo.
- Scegli l'unità di misura: gradi oppure radianti.
- Leggi seno, coseno e tangente dell'angolo, insieme al quadrante, all'angolo di riferimento e all'angolo coterminale, cioè l'angolo equivalente entro un solo giro da 0° a 360°.
Le formule della circonferenza goniometrica
Poiché il raggio della circonferenza goniometrica vale 1, le coordinate (x, y) di un punto coincidono con (cos θ, sin θ): non serve alcuna moltiplicazione per il raggio, come avviene invece in una circonferenza qualsiasi.
Errori frequenti
- Lasciare l'unità impostata su radianti mentre si inserisce un valore in gradi, o viceversa: il risultato sembra plausibile ma è sbagliato.
- Dare per scontato che l'angolo di riferimento coincida con l'angolo inserito anche fuori dal primo quadrante; in realtà si misura sempre rispetto all'asse x più vicino, non a partire da 0°.
- Aspettarsi un valore numerico della tangente a 90° o a 270°, dove invece non è definita perché il coseno vale zero.
- Dimenticare che gli angoli negativi e quelli superiori a 360° equivalgono a un angolo coterminale entro un solo giro completo, cioè fra 0° e 360°.
Domande frequenti
Quanto valgono seno e coseno di 225 gradi?
A 225° si ha sin(225°) = cos(225°) = −0,707107, valore che corrisponde in entrambi i casi a −√2/2. L'angolo cade infatti nel terzo quadrante, dove l'angolo di riferimento vale 45° (cioè 225° − 180°) e sia il seno sia il coseno sono negativi.
In quale quadrante si trova l'angolo di 225 gradi?
L'angolo di 225° cade nel terzo quadrante, quello compreso fra 180° e 270°, dove seno e coseno sono entrambi negativi mentre la tangente è positiva. Il suo angolo di riferimento vale 225° − 180° = 45°.
Che cos'è l'angolo di riferimento?
L'angolo di riferimento è l'angolo acuto, sempre compreso fra 0° e 90°, formato dal lato terminale di un angolo con l'asse x. Per un angolo di 225°, dunque, l'angolo di riferimento misura 45°, perché 225° supera di 45° il valore di 180°.
Che cos'è un angolo coterminale?
Un angolo coterminale condivide lo stesso lato terminale una volta ricondotto all'intervallo fra 0° e 360°, ossia a un solo giro completo. Un angolo di 585° ha come coterminale 585° − 360° = 225°, poiché entrambi individuano la medesima posizione sulla circonferenza.
Perché tan(90°) non è definita sulla circonferenza goniometrica?
La tangente è il rapporto sin θ / cos θ e a 90° il punto sulla circonferenza goniometrica ha x = 0 e y = 1, dunque cos(90°) = 0. Poiché la divisione per zero non è definita, a 90° la tangente non assume alcun valore; lo stesso vale a 270°, dove pure il coseno si annulla.
Quali sono i valori esatti di seno e coseno a 30°, 45° e 60°?
Si ha sin(30°) = 0,5 e cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 e cos(60°) = 0,5. Sono i valori della circonferenza goniometrica che si memorizzano più spesso e appartengono tutti al primo quadrante.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).