I valori degli angoli notevoli
La tabella seguente riporta i valori di seno, coseno e tangente per gli angoli più ricorrenti, verificati fino alla sesta cifra decimale.
| Angolo | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866025 | 0,577350 |
| 45° | 0,707107 | 0,707107 | 1 |
| 60° | 0,866025 | 0,5 | 1,732051 |
| 90° | 1 | 0 | non definita |
- La tangente non è definita a 90°, e più in generale per ogni 90° + 180°k, poiché in quei punti il coseno vale zero e il rapporto sin/cos perde significato.
- Sbagliare l'impostazione gradi/radianti è l'errore più diffuso in trigonometria: lo stesso valore numerico 30 individua un angolo del tutto diverso in gradi (30°) rispetto ai radianti (circa 1719°).
- Per le funzioni inverse, inserire un valore fuori dall'intervallo [−1, 1] nell'arcoseno o nell'arcocoseno è matematicamente privo di senso, poiché nessun angolo reale ha un seno o un coseno esterno a quell'intervallo.
Che cosa sono le funzioni trigonometriche?
Seno, coseno e tangente legano gli angoli di un triangolo rettangolo ai rapporti fra le lunghezze dei suoi lati: il seno è il cateto opposto sull'ipotenusa, il coseno il cateto adiacente sull'ipotenusa e la tangente il cateto opposto su quello adiacente, ossia sin θ / cos θ. Le funzioni inverse — arcoseno, arcocoseno e arcotangente — ricevono invece un rapporto e restituiscono l'angolo corrispondente.
Seno e coseno sono fra loro complementari: sin(θ) = cos(90° − θ). Questo calcolatore mostra tale valore di co-funzione accanto al risultato principale per sin, cos, asin e acos, mentre affianca alla tangente la cotangente, rendendo così immediatamente leggibile la relazione fra funzioni collegate.
Come si usa questo calcolatore di trigonometria
- Scegli la funzione: sin, cos, tan oppure le rispettive inverse sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹.
- Scegli l'unità dell'angolo, gradi o radianti: vale sia per gli angoli inseriti nelle funzioni dirette sia per l'angolo restituito da quelle inverse.
- Inserisci il valore: un angolo per sin, cos e tan, oppure un rapporto per le funzioni inverse.
- Leggi il risultato e, dove è previsto, il valore della co-funzione collegata.
Le formule dei rapporti trigonometrici
Le funzioni inverse asin e acos richiedono un valore compreso fra −1 e 1, estremi inclusi, poiché seno e coseno non assumono mai valori al di fuori di quell'intervallo.
Errori frequenti
- Lasciare il calcolatore nell'unità sbagliata, gradi anziché radianti o viceversa, ottenendo un risultato del tutto diverso ma all'apparenza plausibile.
- Inserire un angolo nell'arcoseno o nell'arcocoseno invece di un rapporto compreso fra −1 e 1.
- Aspettarsi che tan(90°) restituisca un numero molto grande anziché « non definita »: in quel punto la funzione tangente presenta infatti un asintoto verticale.
- Confondere una funzione con la propria inversa, per esempio usando sin quando serviva cos⁻¹.
Domande frequenti
Quanto vale sin(30°)?
sin(30°) vale esattamente 0,5. La sua co-funzione, cos(30°), vale √3/2 ≈ 0,866025, in accordo con la relazione sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°).
Quanto vale cos(45°)?
cos(45°) vale √2/2 ≈ 0,707107, esattamente quanto sin(45°), poiché 45° è complementare di sé stesso: 90° − 45° = 45°.
Perché tan(90°) non è definita?
La tangente è il rapporto fra seno e coseno e cos(90°) vale 0. Poiché la divisione per zero non è definita, tan(90°) non assume alcun valore finito: la funzione tangente presenta infatti un asintoto verticale a 90° e poi ogni 180°.
Che differenza c'è fra sin e sin⁻¹?
La funzione sin(θ) riceve un angolo e restituisce un rapporto compreso fra −1 e 1. La funzione sin⁻¹(x), ossia l'arcoseno, fa invece il percorso inverso: riceve un rapporto compreso fra −1 e 1 e restituisce l'angolo corrispondente.
Come si convertono i gradi in radianti e viceversa?
Moltiplica i gradi per π/180 per ottenere i radianti, oppure i radianti per 180/π per ottenere i gradi. Per esempio, 60° × π/180 ≈ 1,0472 radianti.
Quanto vale l'arcoseno di 0,5?
L'arcoseno di 0,5 vale 30°, ossia π/6 radianti, poiché sin(30°) = 0,5. Il calcolatore mostra inoltre l'angolo complementare della co-funzione, cioè l'arcocoseno di 0,5, pari a 60°: la somma 30° + 60° dà infatti 90°.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).