La successione di Fibonacci: definizione e primi termini
La successione di Fibonacci è definita dalla ricorrenza F(n) = F(n−1) + F(n−2), a partire da F(0) = 0 e F(1) = 1: ogni termine dopo i primi due è la somma dei due termini immediatamente precedenti. La successione inizia con 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... e prosegue all'infinito, crescendo a un ritmo sempre più rapido.
La successione prende il nome da Leonardo Pisano, noto come Fibonacci, che la introdusse nella matematica dell'Europa occidentale nel suo libro del 1202 Liber Abaci attraverso un problema sulla crescita di una popolazione di conigli, anche se la successione stessa era già comparsa in precedenza nella matematica indiana nel contesto del conteggio degli schemi ritmici.
Il rapporto tra termini consecutivi converge alla sezione aurea
Dividendo ogni numero di Fibonacci per quello che lo precede si ottiene un rapporto che si stabilizza verso un valore fisso man mano che la successione procede, anziché continuare a cambiare indefinitamente. Quel valore fisso è la sezione aurea, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887, un numero irrazionale che soddisfa anche la proprietà algebrica φ² = φ + 1.
La tabella qui sotto mostra numericamente questa convergenza usando termini consecutivi della successione di Fibonacci: il rapporto oscilla sopra e sotto φ, ma lo scarto si riduce costantemente al crescere di n, tanto che già al quindicesimo termine il rapporto coincide con φ fino alla quarta cifra decimale.
| Termini di Fibonacci (Fₙ / Fₙ₋₁) | Rapporto | Sezione aurea φ |
|---|---|---|
| 89 / 55 | 1,618182 | 1,618034 |
| 144 / 89 | 1,617978 | 1,618034 |
| 233 / 144 | 1,618056 | 1,618034 |
| 377 / 233 | 1,618026 | 1,618034 |
| 610 / 377 | 1,618037 | 1,618034 |
La formula di Binet: una forma chiusa per qualsiasi numero di Fibonacci
La formula di Binet fornisce direttamente l'n-esimo numero di Fibonacci, senza bisogno di calcolare tutti i termini precedenti: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove φ = (1 + √5)/2 è la sezione aurea e ψ = (1 − √5)/2 è il suo coniugato (≈ −0,6180339887). Poiché |ψ| è minore di 1, il termine ψⁿ tende a zero al crescere di n, quindi F(n) è approssimato molto bene semplicemente da φⁿ / √5 arrotondato all'intero più vicino per n grandi.
Applicando la formula di Binet per n = 10 si ottiene F(10) = (φ¹⁰ − ψ¹⁰) / √5 = 55, che coincide esattamente con il calcolo diretto tramite ricorrenza; per n = 20, la formula dà F(20) = 6.765, di nuovo in accordo con il calcolo diretto. Questo conferma che la formula di Binet è un'alternativa esatta e verificata alla ricorrenza termine per termine, non una semplice approssimazione.
Cosa mostra davvero la ricerca sulla fillotassi riguardo ai numeri di Fibonacci in natura
La fillotassi, lo studio di come sono disposte foglie, semi e altre strutture vegetali, è l'ambito in cui i numeri di Fibonacci hanno il legame meglio documentato con la biologia. Molte piante — capolini di girasole, squame delle pigne, segmenti dell'ananas — presentano due famiglie di spirali che corrono in direzioni opposte, e il numero di spirali di ciascuna famiglia è spesso una coppia di numeri di Fibonacci consecutivi, come 34 e 55, oppure 55 e 89.
Questo schema non è folclore casuale: modelli fisici e matematici del modo in cui le nuove strutture vegetali (i primordi) si dispongono man mano che crescono verso l'esterno a partire da un punto centrale, sviluppati e verificati sperimentalmente da ricercatori tra cui Douady e Couder, mostrano che disporre i nuovi elementi con un angolo di divergenza legato alla sezione aurea (circa 137,5°) produce in modo affidabile conteggi di spirali che sono numeri di Fibonacci consecutivi, come esito emergente della geometria dell'impacchettamento e non perché la pianta stia in qualche modo calcolando la successione. Questo fa della fillotassi uno dei pochi ambiti in cui un meccanismo specifico e ben documentato collega i numeri di Fibonacci a una reale struttura biologica.
Affermazioni popolari sulla sezione aurea che non sono ben supportate
Al di fuori della fillotassi, molte affermazioni ampiamente ripetute secondo cui la sezione aurea governerebbe le proporzioni del Partenone, della Grande Piramide, dell'Uomo vitruviano di Leonardo da Vinci o del volto umano ideale sono state direttamente contestate da matematici e storici che hanno esaminato le misure specifiche in questione. Il matematico George Markowsky, nel suo articolo del 1992 «Misconceptions about the Golden Ratio», pubblicato su The College Mathematics Journal, e il matematico Keith Devlin, nel suo saggio «The Myth That Will Not Go Away», documentano entrambi che molte di queste affermazioni si basano su punti di misurazione scelti selettivamente, su arrotondamenti, o su dimensioni che gli architetti e gli artisti originali non intendevano affatto riferire a φ.
Una cautela analoga vale per l'affermazione che la spirale della conchiglia del nautilus sia una precisa «spirale aurea» (una spirale logaritmica con fattore di crescita φ) — la conchiglia del nautilus è effettivamente una spirale logaritmica, ma le misurazioni di conchiglie reali mostrano che il suo rapporto di crescita varia e non è in modo affidabile né preciso pari a φ — e per i livelli di «ritracciamento di Fibonacci» usati in una parte dell'analisi tecnica dei mercati azionari, che applicano percentuali derivate da Fibonacci ai grafici dei prezzi senza un meccanismo causale accertato che colleghi i movimenti dei prezzi di mercato alla successione matematica. I collegamenti con Fibonacci realmente documentati (la convergenza esatta del rapporto, la formula di Binet e i conteggi delle spirali nella fillotassi) sono solidi sul piano matematico ed empirico; le affermazioni divulgative su arte, architettura, anatomia e mercati in genere non lo sono, e vanno trattate con lo stesso scetticismo riservato a qualsiasi altra corrispondenza di schemi non verificata.
Domande frequenti
Che cos'è la successione di Fibonacci?
La successione di Fibonacci è una lista di numeri che inizia con 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., in cui ogni termine dopo i primi due è uguale alla somma dei due termini immediatamente precedenti: F(n) = F(n−1) + F(n−2). Fu introdotta nella matematica dell'Europa occidentale da Leonardo Pisano (Fibonacci) nel suo libro del 1202 Liber Abaci.
Che cos'è la sezione aurea e come si collega ai numeri di Fibonacci?
La sezione aurea, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887, è il valore verso cui converge il rapporto tra numeri di Fibonacci consecutivi man mano che la successione procede. Per esempio, 610 / 377 ≈ 1,618037, già molto vicino a φ. I due sono collegati in modo esatto, non approssimato, tramite la formula di Binet, che esprime ogni numero di Fibonacci direttamente in funzione di φ.
Che cos'è la formula di Binet?
La formula di Binet è un'espressione in forma chiusa per l'n-esimo numero di Fibonacci, che non richiede di calcolare tutti i termini precedenti: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove φ = (1 + √5)/2 e ψ = (1 − √5)/2. Fornisce risultati esatti — per esempio F(10) = 55 e F(20) = 6.765, entrambi in accordo con il calcolo diretto tramite la ricorrenza.
È vero che girasoli e pigne seguono la successione di Fibonacci?
In larga misura sì, ed è uno dei collegamenti con i numeri di Fibonacci meglio documentati in natura. Molti capolini di girasole, pigne e ananas presentano due famiglie di spirali opposte i cui conteggi sono tipicamente numeri di Fibonacci consecutivi, uno schema che i modelli matematici e fisici della crescita delle piante (la fillotassi), inclusi i lavori di Douady e Couder, mostrano emergere dal modo in cui le nuove strutture vegetali si dispongono in modo efficiente crescendo verso l'esterno con un angolo legato alla sezione aurea.
La sezione aurea si trova davvero nel Partenone e nel corpo umano?
Le prove a sostegno di queste affermazioni specifiche sono deboli. Matematici e storici, tra cui George Markowsky nel suo articolo del 1992 «Misconceptions about the Golden Ratio», hanno dimostrato che molte affermazioni popolari sulla sezione aurea nel Partenone, nelle proporzioni del corpo umano e in opere d'arte famose si basano su misurazioni selettive o su arrotondamenti, anziché su un uso documentato e intenzionale di φ, e dovrebbero essere considerate non verificate anziché fatti accertati.
Fonti
- Weisstein EW. "Fibonacci Number" and "Golden Ratio." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. Broadway Books, 2002.
- Markowsky G. "Misconceptions about the Golden Ratio." The College Mathematics Journal, 1992;23(1):2-19.
- Jean RV. Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis. Cambridge University Press, 1994.
- Devlin K. "The Myth That Will Not Go Away." Devlin's Angle, Mathematical Association of America, May 2007.