Comprendre les résultats logarithmiques
Les trois bases usuelles répondent à des questions différentes portant sur un même nombre. Le tableau ci-dessous les compare pour x = 100.
| Logarithme | Base | Valeur pour x = 100 | Usage typique |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2,71828... | 4,60517 | Analyse, croissance et décroissance continues |
| log10 | 10 | 2 | Notation scientifique, décibels, pH, ordres de grandeur |
| log2 | 2 | 6,643856 | Informatique, théorie de l'information (bits) |
- Le logarithme n'est défini ni pour zéro ni pour les nombres négatifs, et la base doit être positive et différente de 1.
- log_b(1) = 0 dans toute base, puisque b^0 = 1 ; de même log_b(b) = 1, puisque b^1 = b.
- Un logarithme devient négatif lorsque l'entrée est comprise entre 0 et 1 : le logarithme décimal de 0,01 vaut ainsi -2.
- La notation varie selon les disciplines : en mathématiques, « log » sans base désigne souvent ln, tandis qu'en ingénierie et sur la plupart des calculatrices il désigne log10. La norme ISO 80000-2 recommande les notations explicites ln, lg et lb.
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Le logarithme d'un nombre x en base b, noté log_b(x), est l'exposant auquel il faut élever b pour obtenir x : si b^y = x, alors log_b(x) = y. Ainsi, log_10(100) = 2 puisque 10^2 = 100, et log_2(8) = 3 puisque 2^3 = 8. Le logarithme constitue donc la fonction réciproque de l'exponentiation.
Trois bases dominent la pratique. Le logarithme naturel (ln) repose sur la base e, environ 2,71828, et sert de référence en analyse, dans les modèles de croissance et de décroissance, ainsi que dans les sciences. Le logarithme décimal (log10) sous-tend la notation scientifique et les échelles de mesure telles que les décibels ou le pH. Le logarithme binaire (log2), enfin, irrigue toute l'informatique, de l'analyse d'algorithmes à la théorie de l'information, où il mesure des bits.
Un logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs, et sa base doit être positive et différente de 1. Aucun réel y ne rend b^y nul ou négatif, d'où l'absence de définition pour le logarithme de 0 et celui des nombres négatifs ; quant à la base 1, elle échoue puisque 1 élevé à n'importe quelle puissance vaut toujours 1.
Comment utiliser ce calculateur de logarithme
- Saisissez le nombre x dont vous cherchez le logarithme. Il doit être strictement positif.
- Saisissez la base b. Elle doit être positive et différente de 1 ; les choix courants sont 10, 2 et e, soit environ 2,71828.
- Lisez le logarithme de x en base b, obtenu par la formule de changement de base.
- Comparez-le aux logarithmes naturel, décimal et binaire du même nombre, affichés en regard.
La formule de changement de base
Tout logarithme se calcule à partir de logarithmes pris dans une autre base : log_b(x) = ln(x) / ln(b). C'est par cette identité de changement de base que les calculatrices évaluent des logarithmes en base quelconque à partir du seul logarithme naturel.
Exemple détaillé, log_2(8) : on calcule ln(8) = 2,079442 et ln(2) = 0,693147, dont le quotient vaut 2,079442 / 0,693147 = 3. Vérification : 2^3 = 8. Autre exemple, log_10(100) = 2 puisque 10^2 = 100 ; pour cette même entrée, le calculateur affiche par ailleurs ln(100) = 4,60517 et log_2(100) = 6,643856.
Les identités algébriques essentielles découlent de la définition : le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) ; celui d'un quotient en est la différence ; et celui d'une puissance fait sortir l'exposant en facteur, log_b(x^k) = k log_b(x). Ces règles convertissent la multiplication en addition, ce qui fut la motivation première des tables de logarithmes.
Erreurs fréquentes
- Prendre le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif : la fonction n'est définie que pour des entrées strictement positives.
- Supposer que log(x + y) égale log(x) + log(y) ; la règle de la somme concerne les produits, non les sommes : log(xy) = log(x) + log(y).
- Se méprendre sur la base sous-entendue par « log » : calculatrices et langages de programmation divergent, et en JavaScript Math.log désigne le logarithme naturel.
- Écrire log_b(x^k) sous la forme (log_b x)^k : la règle des puissances sort l'exposant en facteur multiplicatif, elle ne l'applique pas au logarithme.
- Employer la base 1, pour laquelle aucun logarithme n'existe, puisque 1 élevé à n'importe quelle puissance vaut 1.
Questions fréquentes
Combien vaut le logarithme de 100 en base 10 ?
log_10(100) = 2, puisque 10 élevé à la puissance 2 donne 100. Le logarithme décimal compte les facteurs dix : log_10(1000) vaut donc 3, et le logarithme décimal de 0,01 vaut -2.
Comment calculer un logarithme dans une base absente de ma calculatrice ?
Recourez à la formule de changement de base : log_b(x) = ln(x) / ln(b), ou de façon équivalente log_10(x) / log_10(b). Par exemple, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, et l'on vérifie bien que 5^3 = 125.
Quelle différence entre ln et log ?
ln désigne toujours le logarithme naturel, de base e, environ 2,71828. « log » reste en revanche ambigu : en mathématiques pures, il désigne souvent le logarithme naturel, tandis qu'en ingénierie, en chimie et sur la plupart des calculatrices de poche il désigne la base 10. La norme ISO 80000-2 recommande d'écrire ln pour la base e, lg pour la base 10 et lb pour la base 2, afin de lever toute ambiguïté.
Pourquoi ne peut-on pas prendre le logarithme d'un nombre négatif ?
Parce qu'aucune puissance réelle d'une base positive ne produit un résultat négatif : b^y reste positif pour tout réel y dès lors que b > 0. Par conséquent, log_b(x) n'admet aucune valeur réelle pour x inférieur ou égal à 0. En analyse complexe, on peut définir le logarithme des nombres négatifs, mais il devient multivalué et sort du cadre des calculateurs à valeurs réelles.
À quoi sert log2 ?
Le logarithme binaire log_2 mesure le nombre de doublements nécessaires pour atteindre un nombre, ce qui le rend fondamental en informatique : une recherche dichotomique sur n éléments triés demande environ log_2(n) étapes, et log_2 donne le nombre de bits requis pour représenter n valeurs distinctes. Ainsi, log_2(1024) = 10 : dix bits adressent 1 024 valeurs.
Que signifie une échelle logarithmique ?
Une échelle logarithmique espace les valeurs par rapports égaux plutôt que par différences égales : chaque pas multiplie par un facteur constant. Les décibels, l'échelle de magnitude de Richter et le pH sont logarithmiques ; une hausse d'une unité de pH correspond ainsi à une concentration en ions hydrogène divisée par dix. Ces échelles rendent lisibles sur un seul axe des grandeurs couvrant de nombreux ordres de grandeur.
Références
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).