Comprendre la règle d'inversion du signe
Le signe du coefficient a détermine si le symbole d'inégalité se maintient ou s'inverse au moment d'isoler x, comme le montre le tableau suivant.
| Signe de a | Effet sur le symbole d'inégalité | Exemple |
|---|---|---|
| a > 0 (positif) | Symbole inchangé | 2x < 8 → x < 4 |
| a < 0 (négatif) | Symbole inversé (< devient >, ≤ devient ≥, etc.) | −2x < 8 → x > −4 |
| a = 0 | Se réduit à un énoncé vrai ou faux portant sur les seules constantes | 0x + 3 < 11 → toujours vrai (tous les réels) |
- Quand a = 0, le résultat est soit « Tous les réels (toujours vrai) », soit « Aucune solution (toujours faux) », puisque l'inéquation ne dépend plus du tout de x.
- La valeur frontière affichée est le point où l'expression linéaire ax + b vaut exactement c ; que cette frontière appartienne ou non à la solution dépend du caractère strict (<, >) ou large (≤, ≥) de l'inéquation.
- Ce calculateur ne résout que les inéquations linéaires à une inconnue. Les inéquations composées (par exemple 3 < 2x + 1 < 9) et celles qui font intervenir x² ou des puissances supérieures appellent d'autres méthodes.
Qu'est-ce qu'une inéquation linéaire ?
Une inéquation linéaire est un énoncé mathématique qui compare une expression linéaire — une inconnue élevée à la puissance un, assortie d'un coefficient et d'une constante — à une autre valeur, à l'aide d'un symbole d'inégalité : strictement inférieur (<), inférieur ou égal (≤), strictement supérieur (>) ou supérieur ou égal (≥). Là où une équation linéaire n'admet généralement qu'une solution, une inéquation linéaire en compte le plus souvent une infinité : toutes les valeurs de x qui rendent l'énoncé vrai.
Ce calculateur traite les inéquations de la forme ax + b [opérateur] c, où a est le coefficient de x, b une constante ajoutée à gauche et c la valeur de comparaison à droite. Résoudre consiste à isoler x d'un côté, ce qui produit un résultat du type x < 4 : toute valeur inférieure à 4 satisfait alors l'inéquation initiale.
La règle qui distingue avant tout la résolution d'une inéquation de celle d'une équation tient en une phrase : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens du symbole d'inégalité. Ce calculateur applique cette règle automatiquement, selon le signe du coefficient a.
Comment utiliser ce calculateur d'inéquation
- Saisissez le coefficient de x (a), le nombre qui multiplie x dans le membre de gauche.
- Saisissez la constante (b), le nombre ajouté à ax dans le membre de gauche. Indiquez 0 s'il n'y a pas de terme constant.
- Choisissez le symbole d'inégalité : <, ≤, > ou ≥.
- Saisissez la valeur du membre de droite (c). Lisez ensuite la solution, exprimée sous la forme x [symbole] valeur frontière ; le sens s'inverse automatiquement si a est négatif.
La méthode de résolution des inéquations linéaires
Résoudre ax + b [op] c en x suit les mêmes étapes algébriques que la résolution d'une équation : retrancher b des deux membres, puis diviser les deux membres par a. Exemple traité : résoudre 2x + 3 < 11. On retranche 3 des deux côtés : 2x < 8. On divise par 2, nombre positif, donc le sens reste inchangé : x < 4.
Lorsque le coefficient a est négatif, la division par ce coefficient inverse le symbole. Exemple traité : résoudre −2x + 3 < 11. On retranche 3 : −2x < 8. On divise par −2 et l'on renverse le symbole : x > −4, et non x < −4. Cette règle d'inversion est de loin la première source d'erreurs lorsqu'on résout une inéquation à la main.
Un cas particulier survient quand a = 0 : l'inéquation se réduit à une comparaison de constantes, du type 3 < 11, qui est soit toujours vraie — la solution est alors « tous les réels » —, soit toujours fausse, auquel cas il n'y a « aucune solution », et ce indépendamment de x.
Erreurs fréquentes
- Oublier d'inverser le symbole en multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre négatif : c'est l'erreur numéro un en matière d'inéquations.
- Traiter ≤ et < (ou ≥ et >) comme interchangeables : la nuance décide de l'appartenance de la valeur frontière à l'ensemble solution.
- Transposer sans réfléchir les réflexes de la résolution d'équation, sans vérifier le signe du coefficient : une inéquation à coefficient négatif ne se résout pas comme une inéquation à coefficient positif.
- Supposer qu'une inéquation possède toujours une frontière numérique : lorsque le coefficient de x est nul, le résultat se réduit à « toujours vrai » ou « toujours faux », sans aucune valeur frontière.
Questions fréquentes
Comment résoudre une inéquation linéaire ?
Isolez l'inconnue par les mêmes étapes que pour une équation — additionner ou soustraire pour déplacer les constantes, puis multiplier ou diviser pour supprimer le coefficient —, mais inversez le symbole dès que vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif. Pour 2x + 3 < 11 : retranchez 3 pour obtenir 2x < 8, puis divisez par 2 pour obtenir x < 4.
Pourquoi le sens s'inverse-t-il lors d'une multiplication par un négatif ?
Multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse l'ordre des valeurs sur la droite numérique : ainsi 2 < 5, mais en multipliant les deux membres par −1 on obtient −2 et −5, or −2 est bel et bien supérieur à −5. Pour que l'énoncé reste vrai, le symbole doit donc s'inverser : −2 > −5.
Que signifie « aucune solution » pour une inéquation ?
Il n'y a aucune solution lorsque le coefficient de x est nul et que la comparaison de constantes obtenue est fausse : 0x + 3 > 11 se ramène à 3 > 11, ce qui n'est jamais vrai, quel que soit x. Aucune valeur de x ne peut alors satisfaire l'inéquation initiale.
Quelle différence entre < et ≤ ?
Le symbole < (strictement inférieur) exclut la valeur frontière de la solution, tandis que ≤ (inférieur ou égal) l'y inclut. Pour x < 4, la valeur 4 n'est pas solution ; pour x ≤ 4, elle l'est. Sur une droite numérique, cette distinction se traduit par un cercle vide (<, >) ou un cercle plein (≤, ≥) au niveau de la frontière.
Comment vérifier la solution d'une inéquation ?
Reportez une valeur test issue de votre intervalle dans l'inéquation d'origine et vérifiez qu'elle la satisfait ; testez au besoin une valeur hors intervalle pour confirmer qu'elle ne la satisfait pas. Pour la solution x < 4 de 2x + 3 < 11, x = 0 donne 2(0) + 3 = 3 < 11 ✓, tandis que x = 5, hors intervalle, donne 2(5) + 3 = 13, qui n'est pas < 11 : la frontière est bien correcte.
Références
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Inequalities. dlmf.nist.gov.
- Sullivan M. Algebra and Trigonometry. 11th ed. Pearson, 2019. (Linear inequalities in one variable.)
- Lial ML, Hornsby J, Schneider DI, Daniels CJ. College Algebra. 13th ed. Pearson, 2017.