Comprendre la solution de votre système
Un système linéaire relève toujours de l'un de ces trois cas, déterminé par la position relative des droites (ou des plans) associées aux équations.
| Cas | Signification géométrique (2×2) | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| Indépendant, compatible | Les deux droites se coupent en un seul point | Exactement une solution unique |
| Dépendant | Les deux équations décrivent la même droite | Une infinité de solutions |
| Incompatible | Les deux droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais | Aucune solution |
- Le calculateur signale de la même façon — « Aucune solution unique » — le cas dépendant et le cas incompatible, car l'élimination de Gauss seule ne permet pas de les distinguer sans réduction supplémentaire de la matrice augmentée ; les deux résultats sont également légitimes lorsque la matrice des coefficients est singulière.
- Les résultats numériques sont arrondis à 6 décimales. Lorsque les coefficients sont des entiers ou des fractions simples, de petites décimales non nulles en sortie (par exemple 1,999999 au lieu de 2) traduisent l'arrondi habituel en virgule flottante et peuvent être lues comme la valeur exacte voisine.
- Le pivot partiel réduit l'erreur numérique, mais un système « presque singulier » (déterminant très proche de zéro) reste sensible aux plus petites variations des données saisies — propriété que l'algèbre linéaire numérique appelle le mauvais conditionnement.
Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires ?
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'au moins deux équations linéaires portant sur les mêmes inconnues. Une solution du système est un jeu de valeurs — une par inconnue — qui rend simultanément vraies toutes les équations. Géométriquement, une équation linéaire à deux inconnues représente une droite : résoudre un système 2×2 revient donc à chercher le point d'intersection de deux droites. À trois inconnues, chaque équation décrit un plan de l'espace, et le système 3×3 localise le point commun à trois plans.
Ce calculateur représente chaque équation par une ligne d'une matrice augmentée : les coefficients des inconnues, suivis du terme constant situé à droite du signe égal. Pour un système 2×2, on saisit six nombres, ligne par ligne — a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ — correspondant à a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂. Un système 3×3 suit la même logique avec douze nombres répartis sur trois lignes de quatre coefficients.
Le solveur applique l'élimination de Gauss avec pivot partiel, méthode classique d'algèbre linéaire numérique qui élimine les inconnues ligne après ligne jusqu'à ramener la matrice augmentée à une forme où chaque inconnue se lit directement. Le pivot partiel — choisir dans chaque colonne la ligne au coefficient de plus grande valeur absolue avant d'éliminer — améliore nettement la stabilité numérique par rapport à une élimination naïve.
Comment utiliser ce calculateur de système d'équations
- Choisissez le nombre d'inconnues : 2 pour un système de deux équations à deux inconnues (x, y), ou 3 pour un système de trois équations à trois inconnues (x, y, z).
- Saisissez les coefficients sous forme de liste séparée par ;, ligne par ligne. Pour un système 2×2, entrez a₁; b₁; c₁; a₂; b₂; c₂ correspondant à a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂, soit six nombres au total.
- Pour un système 3×3, entrez douze nombres : a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃, pour a₁x + b₁y + c₁z = d₁ et les deux équations suivantes.
- Lisez les valeurs obtenues pour x, y (et z dans le cas 3×3). Si le système est singulier — équations dépendantes ou contradictoires —, le calculateur affiche « Aucune solution unique » au lieu de valeurs numériques.
La formule derrière l'élimination de Gauss
L'élimination de Gauss transforme la matrice augmentée [A | b] en une forme équivalente plus facile à résoudre, au moyen d'opérations sur les lignes qui ne modifient pas l'ensemble des solutions : échanger deux lignes, multiplier une ligne par une constante non nulle, ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Ce calculateur pousse l'élimination jusqu'à la forme réduite et lit la solution directement sur la matrice diagonale obtenue, en utilisant le pivot partiel (le plus grand pivot disponible dans chaque colonne) pour limiter les erreurs d'arrondi en virgule flottante.
Exemple traité (2×2) : résoudre 2x + y = 5 et x − y = 1. L'addition des deux équations élimine y : 3x = 6, donc x = 2. En reportant dans la seconde équation : 2 − y = 1, donc y = 1. Vérification : 2(2) + 1 = 5 ✓ et 2 − 1 = 1 ✓.
Un système est singulier — sans solution unique — lorsque le déterminant de sa matrice des coefficients est nul, autrement dit lorsque l'élimination de Gauss produit une colonne de pivot dont toutes les entrées sont (numériquement) nulles. Un tel système est soit incompatible (les équations se contredisent, par exemple x + y = 2 et x + y = 5, d'où aucune solution), soit dépendant (une équation est un multiple d'une autre, par exemple x + y = 2 et 2x + 2y = 4, d'où une infinité de solutions). Distinguer les deux cas suppose d'examiner les équations elles-mêmes ; le calculateur les signale tous deux comme « aucune solution unique ».
Erreurs fréquentes
- Saisir les coefficients dans le désordre : le calculateur attend, pour chaque équation, ses coefficients suivis de son terme constant, ligne par ligne et non colonne par colonne.
- Oublier qu'un système 3×3 exige douze nombres (quatre par ligne) et non neuf : le terme constant situé à droite de chaque équation doit être inclus.
- Croire qu'« aucune solution unique » signifie toujours qu'il n'existe aucune solution ; cela peut tout aussi bien annoncer une infinité de solutions (système dépendant). Distinguer les deux cas demande de reprendre les équations d'origine à la main.
- Se tromper de côté pour les constantes : tous les termes en inconnue doivent être ramenés à gauche et l'équation écrite sous la forme a₁x + b₁y (+ c₁z) = constante avant la saisie des coefficients.
- Attendre des fractions exactes en sortie : les résultats sont des approximations décimales arrondies à six décimales, si bien qu'une solution valant 1/3 s'affiche 0,333333.
Questions fréquentes
Comment résoudre un système de deux équations linéaires ?
Une méthode courante est l'élimination : on additionne ou soustrait des multiples des équations pour supprimer une inconnue, on résout pour celle qui reste, puis on reporte. Pour 2x + y = 5 et x − y = 1, l'addition élimine y et donne 3x = 6, donc x = 2 ; en reportant, y = 1. Ce calculateur automatise le procédé équivalent — l'élimination de Gauss — pour les systèmes 2×2 comme 3×3.
Que signifie l'absence de solution unique ?
Cela signifie que les équations ne se coupent pas en un point unique. Deux situations distinctes le provoquent : les équations peuvent être incompatibles (contradictoires, comme x + y = 2 et x + y = 5), auquel cas il n'existe aucune solution, ou dépendantes (l'une est une copie proportionnelle de l'autre, comme x + y = 2 et 2x + 2y = 4), auquel cas il en existe une infinité. Dans les deux cas, le déterminant de la matrice des coefficients est nul.
Combien d'équations faut-il pour trouver 3 inconnues ?
En règle générale, un système doit comporter au moins autant d'équations indépendantes que d'inconnues pour admettre une solution unique, soit trois équations indépendantes pour trois inconnues (x, y, z). Avec moins d'équations indépendantes, il subsiste au moins un degré de liberté, d'où une infinité de solutions plutôt qu'une seule.
Qu'est-ce que l'élimination de Gauss ?
L'élimination de Gauss est une méthode systématique de résolution des systèmes linéaires : par des opérations sur les lignes — échange, multiplication par une constante, ajout d'un multiple d'une autre ligne — elle ramène la matrice augmentée à une forme triangulaire ou diagonale d'où la solution se lit directement. C'est la méthode enseignée en algèbre linéaire et employée en interne par la plupart des solveurs numériques, dont celui-ci.
Ce calculateur résout-il les systèmes non linéaires, avec des x² par exemple ?
Non. Il ne traite que les systèmes linéaires, dans lesquels chaque inconnue apparaît à la puissance un, sans produit d'inconnues (ni x², ni terme xy). Les systèmes non linéaires réclament d'autres approches, comme la substitution associée à la formule quadratique, ou des méthodes numériques de recherche de racines.
Pourquoi le calculateur affiche-t-il des décimales plutôt que des fractions exactes ?
Le solveur mène l'élimination de Gauss en virgule flottante, approche standard en algèbre linéaire numérique, et non en arithmétique symbolique des fractions. Une solution valant 1/3 s'affiche donc 0,333333 (arrondie à six décimales). Pour des systèmes à coefficients entiers, la sortie décimale tombe généralement sur un nombre entier exact ou quasi exact.
Références
- Strang G. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. Cengage Learning, 2006. (Gaussian elimination and matrix rank.)
- Lay DC, Lay SR, McDonald JJ. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2015.
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. 9th ed. Cengage Learning, 2011. (Partial pivoting and numerical stability.)