D'où vient la formule quadratique
La formule quadratique se dérive de l'équation générale ax² + bx + c = 0 (avec a différent de zéro) grâce à une technique appelée complétion du carré. Diviser chaque terme par a donne x² + (b/a)x + c/a = 0, puis déplacer la constante de l'autre côté donne x² + (b/a)x = -c/a. Ajouter (b/2a)² aux deux côtés transforme le côté gauche en un carré parfait : (x + b/2a)² = (b/2a)² - c/a.
Simplifier le côté droit sur un dénominateur commun donne (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / (4a²). Prendre la racine carrée des deux côtés (en autorisant à la fois la racine positive et négative) donne x + b/2a = plus ou moins la racine carrée de (b² - 4ac) / (2a), et isoler x produit la formule familière : x = (-b plus ou moins la racine carrée de b² - 4ac) / (2a). Chaque étape est une manipulation algébrique réversible, ce qui explique pourquoi la formule fonctionne pour toute équation quadratique à coefficient dominant non nul, pas seulement celles qui se factorisent proprement.
Le discriminant : ce qu'il révèle avant de résoudre
L'expression sous la racine carrée, b² - 4ac, est appelée le discriminant, et son signe seul détermine le type de racines de l'équation, sans avoir besoin de calculer les racines elles-mêmes. Un discriminant positif signifie que la racine carrée est un nombre réel positif, de sorte que le plus ou moins produit deux valeurs réelles distinctes de x. Un discriminant exactement égal à zéro signifie que le terme de racine carrée s'annule entièrement, de sorte que les cas plus et moins se confondent en une seule valeur x = -b / (2a).
Un discriminant négatif signifie que l'expression sous la racine carrée est négative, ce qui n'a pas de racine carrée réelle — seulement une racine imaginaire, puisque la racine carrée d'un nombre négatif est définie comme un nombre réel multiplié par i, où i est l'unité imaginaire satisfaisant i² = -1. Dans ce cas, la formule produit toujours deux réponses, mais ce sont une paire de complexes conjugués de la forme p + qi et p - qi, plutôt que des nombres réels.
| Discriminant (b² - 4ac) | Nombre et type de racines | Ce que fait la parabole |
|---|---|---|
| Positif (> 0) | Deux racines réelles distinctes | Croise l'axe des x en deux points |
| Zéro (= 0) | Une racine réelle répétée, x = -b / (2a) | Touche l'axe des x en un seul point (le sommet) |
| Négatif (< 0) | Deux racines complexes conjuguées, p ± qi | Ne touche ni ne croise jamais l'axe des x |
Exemple chiffré 1 : deux racines réelles distinctes (D > 0)
Résolvons x² - 3x + 2 = 0. Ici a = 1, b = -3, c = 2. Le discriminant est (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, qui est positif, donc deux racines réelles distinctes sont attendues. En appliquant la formule : x = (3 plus ou moins la racine carrée de 1) / (2 x 1) = (3 plus ou moins 1) / 2. Cela donne x1 = (3 + 1) / 2 = 2 et x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Ces racines peuvent être vérifiées en factorisant l'équation d'origine : x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), qui vaut zéro exactement lorsque x = 1 ou x = 2, confirmant la réponse de la formule. Une vérification supplémentaire utilise les formules de Vieta : la somme des racines doit être égale à -b/a = 3, et en effet 2 + 1 = 3 ; le produit doit être égal à c/a = 2, et en effet 2 x 1 = 2.
Exemple chiffré 2 : une racine réelle répétée (D = 0)
Résolvons x² - 4x + 4 = 0. Ici a = 1, b = -4, c = 4. Le discriminant est (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, donc une seule racine répétée est attendue. Comme le discriminant est nul, la formule se simplifie directement en x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Cette équation se factorise en (x - 2)² = 0, confirmant que x = 2 est la seule racine, comptée deux fois (de multiplicité 2). Géométriquement, la parabole y = x² - 4x + 4 touche juste l'axe des x à son sommet, (2, 0), plutôt que de le traverser — la signature visuelle d'un discriminant nul.
Exemple chiffré 3 : deux racines complexes conjuguées (D < 0)
Résolvons x² + 2x + 5 = 0. Ici a = 1, b = 2, c = 5. Le discriminant est 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, qui est négatif, donc aucune racine réelle n'existe. En appliquant la formule : x = (-2 plus ou moins la racine carrée de -16) / (2 x 1). La racine carrée de -16 est 4i, puisque (4i)² = 16 x i² = 16 x (-1) = -16, donc x = (-2 plus ou moins 4i) / 2 = -1 plus ou moins 2i.
Les deux racines sont donc -1 + 2i et -1 - 2i, une paire de complexes conjugués — ce qui signifie qu'elles partagent la même partie réelle (-1) et ont des parties imaginaires de signes opposés. La parabole y = x² + 2x + 5 se situe entièrement au-dessus de l'axe des x (sa valeur minimale, en x = -1, est 4), ce qui est la raison graphique pour laquelle elle ne croise jamais l'axe et n'a donc pas de racine réelle.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la formule quadratique ?
La formule quadratique résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a n'est pas nul, et énonce que x = (-b plus ou moins la racine carrée de b² - 4ac), le tout divisé par 2a. Elle se dérive en complétant le carré sur l'équation quadratique générale et fonctionne pour toute quadratique, qu'elle se factorise ou non en nombres entiers.
Que révèle le discriminant ?
Le discriminant, b² - 4ac, est l'expression sous la racine carrée dans la formule quadratique, et son signe révèle le type de racines avant même de résoudre. Un discriminant positif signifie deux racines réelles distinctes, un discriminant nul signifie une racine réelle répétée en x = -b/(2a), et un discriminant négatif signifie deux racines complexes conjuguées et aucune solution réelle.
Comment résoudre une équation quadratique à racines complexes ?
Lorsque le discriminant b² - 4ac est négatif, prenez la racine carrée de sa valeur absolue et associez-y l'unité imaginaire i. Pour x² + 2x + 5 = 0, le discriminant est -16, et la racine carrée de -16 est 4i, donnant les racines x = (-2 plus ou moins 4i) / 2 = -1 plus ou moins 2i — une paire de complexes conjugués.
D'où vient la formule quadratique ?
Elle vient de la complétion du carré sur l'équation générale ax² + bx + c = 0. Diviser par a, isoler la constante, puis ajouter (b/2a)² aux deux côtés transforme le côté gauche en un carré parfait, (x + b/2a)². Prendre la racine carrée des deux côtés et isoler x produit x = (-b plus ou moins la racine carrée de b² - 4ac) / (2a).
Une équation quadratique peut-elle avoir exactement une solution ?
Oui, lorsque le discriminant est exactement égal à zéro. Dans ce cas, le plus ou moins de la formule se réduit à une seule valeur, x = -b / (2a), appelée racine répétée. Par exemple, x² - 4x + 4 = 0 a pour discriminant 16 - 16 = 0 et pour racine répétée unique x = 2, puisque l'équation se factorise en (x - 2)² = 0.
Références
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).