Comprendre convergence et divergence
Qu'une série géométrique converge ou non vers une somme finie à mesure qu'on ajoute des termes dépend uniquement de la valeur absolue de la raison, comme le récapitule le tableau ci-dessous.
| Raison |r| | Comportement des termes | Somme à l'infini |
|---|---|---|
| |r| < 1 (par ex. r = 0,5) | Les termes se rapprochent de 0 | Converge : S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Les termes gardent la même valeur absolue (avec alternance de signe si r = −1) | Diverge (aucune somme finie, hors le cas trivial a₁ = 0) |
| |r| > 1 (par ex. r = 3) | Les termes croissent sans borne en valeur absolue | Diverge (aucune somme finie) |
- L'aperçu affiche au plus les 8 premiers termes ; au-delà, des points de suspension (…) signalent la présence d'autres termes, même si le n-ième terme et la somme finie restent calculés exactement pour le n saisi.
- La somme infinie n'est affichée que si |r| < 1 ; pour toute autre raison, la série n'a pas de somme finie et le calculateur le signale plutôt que d'afficher un nombre trompeur.
- Une raison exactement nulle ne définit pas une suite géométrique au sens usuel (tous les termes après le premier vaudraient 0), tandis qu'une raison négative engendre une suite dont le signe alterne à chaque terme.
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique (ou progression géométrique) est une liste ordonnée de nombres dans laquelle chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par une constante appelée raison (r). Ainsi, 2, 6, 18, 54, 162 forme une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3, puisque chaque terme vaut le triple du précédent.
Lorsque |r| > 1, les termes croissent sans borne en valeur absolue (croissance exponentielle) ; lorsque 0 < |r| < 1, ils se rapprochent de zéro (décroissance exponentielle) ; lorsque r = 1, tous les termes valent le premier ; et lorsque r est négatif, les signes alternent. Ces suites modélisent les intérêts composés, le doublement d'une population, la décroissance radioactive et tout processus qui multiplie répétitivement une grandeur par un même facteur.
Une série géométrique est la somme des termes d'une suite géométrique. Contrairement à une série arithmétique, elle peut posséder une somme finie même prolongée à une infinité de termes, à condition que la valeur absolue de la raison soit strictement inférieure à 1 — propriété sans équivalent du côté arithmétique.
Comment utiliser ce calculateur de suite géométrique
- Saisissez le premier terme de la suite (a₁), c'est-à-dire la valeur de départ.
- Saisissez la raison (r), le facteur fixe par lequel chaque terme est multiplié pour obtenir le suivant. Choisissez une valeur comprise entre −1 et 1 (zéro exclu) pour observer une somme infinie convergente.
- Indiquez le nombre de termes (n) pour lequel vous voulez le n-ième terme et la somme partielle.
- Lisez le n-ième terme, la somme des n premiers termes, la somme à l'infini (affichée seulement si |r| < 1) et l'aperçu des 8 premiers termes au plus.
Les formules de la suite géométrique
Le n-ième terme s'obtient en multipliant le premier terme par la raison élevée à la puissance (n − 1) : aₙ = a₁ × r^(n−1). Exemple traité avec a₁ = 2, r = 3 et n = 5 : a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
La somme des n premiers termes s'écrit sous forme close Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) pour r ≠ 1 ; on l'obtient en retranchant à la série une copie d'elle-même multipliée par r, ce qui annule tous les termes sauf le premier et le dernier. Si r = 1, tous les termes valent a₁ et la somme se réduit à Sₙ = a₁ × n. Exemple traité : S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Lorsque |r| < 1, le terme rⁿ tend vers 0 à mesure que n augmente, si bien que la formule de la somme partielle converge vers une limite finie : S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Par exemple, avec a₁ = 8 et r = 0,5, on obtient S∞ = 8 ÷ (1 − r) = 16 : la somme infinie 8 + 4 + 2 + 1 + … s'approche de 16 sans jamais le dépasser. En revanche, si |r| ≥ 1, la somme infinie diverge — elle n'a aucune valeur finie — et le calculateur n'en affiche donc aucune.
Erreurs fréquentes
- Prendre n plutôt que (n − 1) comme exposant : le premier terme (n = 1) vaut a₁ × r⁰ = a₁, et non a₁ × r¹, d'où un exposant toujours égal à (n − 1).
- Appliquer la formule de la somme infinie lorsque |r| ≥ 1 : la série diverge alors et n'a pas de somme finie ; a₁ ÷ (1 − r) ne vaut que pour |r| < 1.
- Confondre la raison géométrique et la raison arithmétique : la première multiplie à chaque étape, la seconde ajoute.
- Oublier qu'une raison négative engendre une suite alternée (par exemple 2, −6, 18, −54 pour a₁ = 2 et r = −3), comportement attendu que certains prennent à tort pour une erreur.
Questions fréquentes
Comment trouver le n-ième terme d'une suite géométrique ?
Appliquez aₙ = a₁ × r^(n−1), où a₁ est le premier terme, r la raison et n le rang recherché. Pour a₁ = 2, r = 3 et n = 5 : a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Comment calculer la somme d'une série géométrique ?
Pour un nombre fini de termes, utilisez Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) lorsque r ≠ 1. Pour a₁ = 2, r = 3 et n = 5 : S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Pour une série infinie dont |r| < 1, employez plutôt S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
Quand une série géométrique infinie possède-t-elle une somme ?
Une série géométrique infinie ne converge vers une somme finie que si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1 (|r| < 1) ; on a alors S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Dès que |r| ≥ 1, les termes ne tendent plus vers zéro, la somme croît sans borne et la série diverge.
Quelle différence entre suite géométrique et suite arithmétique ?
Une suite géométrique multiplie par une raison constante (r) pour passer d'un terme au suivant, d'où une croissance ou une décroissance exponentielle. Une suite arithmétique ajoute une raison constante (d), d'où une évolution linéaire. Une suite ne peut généralement pas être les deux, sauf si la raison géométrique vaut 1 (suite constante).
La raison peut-elle être négative ?
Oui. Une raison négative engendre une suite alternée dont le signe change à chaque terme. Par exemple, a₁ = 2 et r = −3 donnent 2, −6, 18, −54, 162 : les valeurs alternent entre positif et négatif tout en respectant aₙ = a₁ × r^(n−1).
Références
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)