Comprendre l'aperçu de la suite
Le signe de la raison détermine si la suite croît, décroît ou reste constante, comme l'illustre le tableau suivant pour un premier terme égal à 3.
| Raison (d) | Comportement | 5 premiers termes (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (par ex. d = 4) | Suite croissante | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Suite constante — tous les termes valent a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (par ex. d = −4) | Suite décroissante | 3, −1, −5, −9, −13 |
- L'aperçu affiche au plus les 8 premiers termes ; au-delà, des points de suspension (…) signalent que la suite se poursuit, même si le n-ième terme et la somme restent calculés exactement pour le n que vous avez saisi.
- Contrairement à une suite géométrique, une suite arithmétique ne connaît aucune borne supérieure ni inférieure lorsque n grandit (sauf si d = 0), et il n'existe pas de « somme à l'infini » finie : la somme partielle Sₙ croît sans limite avec n dès que d ≠ 0.
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique (ou progression arithmétique) est une liste ordonnée de nombres dans laquelle l'écart entre un terme et le précédent reste toujours la même constante, appelée raison (d). Ainsi, 3, 7, 11, 15, 19 forme une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 4, puisque chaque terme dépasse le précédent de 4.
La raison peut être positive (suite croissante), négative (suite décroissante) ou nulle (suite constante, dont tous les termes valent le premier). Les suites arithmétiques modélisent tout processus qui évolue d'une même quantité fixe à chaque étape : plan d'épargne à versements égaux, rangées de sièges gagnant un nombre constant de places, ou compte à rebours décrémenté d'un intervalle fixe.
On pose habituellement deux questions à propos d'une suite arithmétique : quelle est la valeur d'un terme donné (le n-ième terme) et quelle est la somme d'une série de termes consécutifs (une somme partielle, que l'on appelle aussi série arithmétique). Ce calculateur répond aux deux à partir des mêmes trois données.
Comment utiliser ce calculateur de suite arithmétique
- Saisissez le premier terme de la suite (a₁), c'est-à-dire la valeur de départ.
- Saisissez la raison (d), la quantité fixe ajoutée à chaque terme pour obtenir le suivant. Utilisez un nombre négatif pour une suite décroissante.
- Indiquez le nombre de termes (n) pour lequel vous souhaitez le n-ième terme et la somme.
- Lisez le n-ième terme, la somme des n premiers termes et l'aperçu, qui affiche jusqu'aux 8 premiers termes de la suite.
Les formules de la suite arithmétique
Le n-ième terme s'obtient en partant du premier terme et en ajoutant la raison (n − 1) fois, puisque le premier terme lui-même n'exige aucune addition : aₙ = a₁ + (n − 1)d. Exemple traité avec a₁ = 3, d = 4 et n = 10 : a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
La somme des n premiers termes exploite une propriété remarquable : en associant le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite, on obtient toujours la même somme par paire (a₁ + aₙ). D'où la forme close Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), équivalente à Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Exemple traité : S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
La légende mathématique attribue cette formule au jeune Carl Friedrich Gauss, qui aurait additionné les entiers de 1 à 100 en appariant 1+100, 2+99, et ainsi de suite : 50 paires valant chacune 101, soit 5 050 au total. C'est exactement la logique d'appariement qui fonde la formule générale employée ici.
Erreurs fréquentes
- Employer n au lieu de (n − 1) dans la formule du n-ième terme : le premier terme (n = 1) ne demande aucune addition de d, d'où aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Confondre la raison d'une suite arithmétique avec celle d'une suite géométrique : la première s'ajoute à chaque étape, tandis que la seconde multiplie.
- Croire que la somme exige d'énumérer tous les termes : la forme close Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) la calcule directement, sans additionner terme à terme.
- Saisir un nombre de termes non entier : n doit être un entier positif désignant un rang (1er, 2e, 3e, …), et non une quantité fractionnaire.
Questions fréquentes
Comment trouver le n-ième terme d'une suite arithmétique ?
Appliquez la formule aₙ = a₁ + (n − 1)d, où a₁ est le premier terme, d la raison et n le rang recherché. Pour a₁ = 3, d = 4 et n = 10 : a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Comment calculer la somme d'une suite arithmétique ?
Utilisez Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), qui additionne les n premiers termes sans qu'il faille les cumuler un à un. Pour a₁ = 3, d = 4 et n = 10 : S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Quelle différence entre suite arithmétique et suite géométrique ?
Dans une suite arithmétique, l'écart entre deux termes consécutifs est constant (chaque terme = terme précédent + d). Dans une suite géométrique, c'est le rapport qui est constant (chaque terme = terme précédent × r). Les suites arithmétiques croissent linéairement, tandis que les suites géométriques croissent — ou décroissent — de façon exponentielle dès que la valeur absolue du rapport diffère de 1.
La raison peut-elle être négative ou nulle ?
Oui. Une raison négative engendre une suite décroissante, par exemple 10, 7, 4, 1, −2 avec d = −3. Une raison nulle engendre une suite constante dont chaque terme égale le premier. Ces deux cas sont de véritables suites arithmétiques.
Comment déterminer la raison à partir de deux termes ?
Soustrayez un terme de celui qui le suit immédiatement : d = aₙ₊₁ − aₙ. Si vous ne connaissez que deux termes non consécutifs, aₘ et aₙ, appliquez d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Références
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.