أنواع المثلثات ومتباينة المثلث
يُصنَّف المثلث بحسب أطوال أضلاعه وبحسب أكبر زواياه؛ ويلخّص الجدول التالي كلا النظامين.
| أساس التصنيف | النوع | الوصف |
|---|---|---|
| بحسب الأضلاع | متساوي الأضلاع | الأضلاع الثلاثة متساوية؛ وكل زاوية 60° |
| بحسب الأضلاع | متساوي الساقين | ضلعان اثنان متساويان تحديدًا |
| بحسب الأضلاع | مختلف الأضلاع | الأضلاع الثلاثة مختلفة الأطوال |
| بحسب الزاوية | حاد الزوايا | الزوايا الثلاث جميعها أقل من 90° |
| بحسب الزاوية | قائم الزاوية | إحدى الزوايا تساوي 90° تمامًا |
| بحسب الزاوية | منفرج الزاوية | إحدى الزوايا أكبر من 90° |
- تشترط نظرية متباينة المثلث أن يزيد مجموع أي ضلعين على الضلع الثالث (a + b > c، وa + c > b، وb + c > a)؛ وثلاثة أطوال لا تحقق ذلك لا تكوّن مثلثًا، ولا تعطي الحاسبة نتيجة في تلك الحالة.
- في نمط "ضلعان + الزاوية المحصورة"، يجب أن تقع الزاوية C المدخلة بين 0° و180° حصرًا، لأن 0° أو 180° تجعل المثلث ينهار إلى خط مستقيم.
- مجموع الزوايا الداخلية الثلاث في أي مثلث يساوي 180° تمامًا، وتستعمل الحاسبة ذلك اختبارًا للتحقق عند اشتقاق الزاوية الثالثة.
ما الذي تحلّه حاسبة المثلث هذه؟
يتحدد أي مثلث تحديدًا تامًا بثلاثة قياسات مستقلة، وأشهرها الأضلاع الثلاثة (ض ض ض)، أو ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (ض ز ض)، أو — في حالة المثلث القائم الزاوية — ضلعا القائمة المتعامدان. ومن أي من هذه المعطيات يمكن اشتقاق باقي الأضلاع والزوايا والمساحة والمحيط باستخدام المتطابقات المثلثية القياسية.
وتدعم هذه الحاسبة أنماط الإدخال الثلاثة جميعها. ففي نمط "الأضلاع الثلاثة" تتحقق من متباينة المثلث (أن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين) قبل الحل، لأن ثلاثة أطوال لا تجتاز هذا الاختبار لا يمكن أن تكوّن مثلثًا.
كيفية استخدام حاسبة المثلث
- اختر نمط القيم المعلومة: الأضلاع الثلاثة، أو ضلعان مع الزاوية المحصورة، أو ضلعا القائمة.
- في نمط "الأضلاع الثلاثة"، أدخل الضلع a والضلع b والضلع c.
- في نمط "ضلعان + الزاوية المحصورة"، أدخل الضلع a والضلع b والزاوية C المحصورة بينهما (بين 0° و180° دون تضمينهما).
- في نمط "المثلث القائم الزاوية"، أدخل ضلعي القائمة بوصفهما الضلع a والضلع b؛ ويُشتق الوتر تلقائيًا.
- اطّلع على المساحة والمحيط والضلع المجهول (إن وُجد) والزوايا الداخلية الثلاث، وهي تتحدث فورًا.
الصيغ المستخدمة في حلّ المثلث
تحسب صيغة هيرون مساحة المثلث مباشرةً من أطوال أضلاعه الثلاثة دون الحاجة إلى معرفة أي زاوية. أما قانون جيب التمام فيستخرج الضلع المجهول (في نمط ض ز ض) كما يستعيد الزوايا الثلاث جميعها من أطوال الأضلاع المعلومة.
أخطاء شائعة
- إدخال ثلاثة أطوال أضلاع تخالف متباينة المثلث (مثل 2 و3 و10)، وهي لا تكوّن مثلثًا صحيحًا.
- إدخال زاوية غير محصورة فعليًا بين الضلعين المعطيين في نمط ض ز ض — فقانون جيب التمام يتطلب الزاوية المحصورة.
- الخلط بين ضلعي القائمة والوتر عند استخدام نمط "المثلث القائم الزاوية" — إذ يجب أن يكون الضلعان a و b ضلعي القائمة المتعامدين لا الوتر.
- الخلط بين الدرجات والراديان عند قراءة نتائج الزوايا، فهي تُعطى دائمًا بالدرجات.
الأسئلة الشائعة
كيف تُحسب مساحة مثلث معلوم الأضلاع الثلاثة؟
استعمل صيغة هيرون: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))، حيث s نصف المحيط أي (a+b+c)/2. ففي مثلث أضلاعه 13 و14 و15 يكون s = 21، وتكون A = √(21×8×7×6) = √7056 = 84 وحدة مربعة بالضبط.
ما زوايا المثلث ذي الأضلاع 13 و14 و15؟
إذا كان a = 13 و b = 14 و c = 15، فإن قانون جيب التمام يعطي الزاوية A ≈ 53.13° والزاوية B ≈ 59.49° والزاوية C ≈ 67.38°، ومجموعها 180° (مع مراعاة التقريب).
كيف يُحلّ المثلث المعلوم فيه ضلعان والزاوية المحصورة بينهما؟
استعمل قانون جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث: c² = a² + b² − 2ab·cos C. ثم أوجد الزاويتين الباقيتين بترتيب قانون جيب التمام لاستخراج الزوايا، أو بقانون الجيب.
ما متباينة المثلث؟
تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. فإذا اختلّ ذلك في أي زوج، تعذّر على الأطوال الثلاثة أن تكوّن مثلثًا.
كيف يُوجد وتر المثلث القائم الزاوية؟
الوتر يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي ضلعي القائمة: c = √(a² + b²). فمثلث قائم الزاوية ضلعا قائمته 3 و4 وتره √(9+16) = √25 = 5.
هل يمكن أن يكون للمثلث زاويتان قائمتان؟
لا. لأن مجموع الزوايا الداخلية الثلاث في المثلث المستوي يساوي 180° تمامًا، فوجود زاويتين قياس كل منهما 90° لا يترك للزاوية الثالثة سوى 0°، وهذا ليس مثلثًا صحيحًا.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).