قانونان، مجموعتان مختلفتان من القيم المعلومة
كل مثلث ليس قائم الزاوية -- يُسمّى مثلثًا غير قائم -- يمكن حله بالكامل من ثلاثة قياسات معلومة، لكن الصيغة المناسبة تعتمد بالضبط على أي ثلاثة قياسات معلومة. قانون الجيب وقانون جيب التمام هما الأداتان العامتان لذلك، وكل منهما يناسب مجموعة مختلفة من المعطيات.
| القيم المعلومة | الطريقة | ملاحظات |
|---|---|---|
| زاويتان + أي ضلع (AAS أو ASA) | قانون الجيب | دائمًا حل واحد بالضبط |
| ضلعان + الزاوية المحصورة بينهما (SAS) | قانون جيب التمام | دائمًا حل واحد بالضبط |
| الأضلاع الثلاثة (SSS) | قانون جيب التمام | دائمًا حل واحد بالضبط (إذا تحققت متباينة المثلث) |
| ضلعان + زاوية غير محصورة (SSA) | قانون الجيب، بحذر | صفر أو حل واحد أو حلان ممكنان -- الحالة الغامضة |
قانون الجيب: زاويتان وضلع (AAS/ASA)
ينص قانون الجيب على أنه في أي مثلث، تكون نسبة طول الضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له مباشرة متساوية للأضلاع الثلاثة جميعًا: أ / جا(أ) = ب / جا(ب) = جـ / جا(جـ). ومع معرفة زاويتين وأي ضلع واحد، تُستنتج الزاوية الثالثة مباشرة من كون مجموع زوايا المثلث 180 درجة، ويُستنتج الضلعان الناقصان مباشرة من النسبة.
مثال محلول: زاوية أ = 40 درجة، ضلع أ = 15 (مقابل الزاوية أ)، وزاوية ب = 60 درجة. الخطوة 1: زاوية جـ = 180 - 40 - 60 = 80 درجة. الخطوة 2: ضلع ب = (أ × جا ب) / جا أ = (15 × جا 60 درجة) / جا 40 درجة = (15 × 0.8660) / 0.6428، أي ما يقارب 20.2094. الخطوة 3: ضلع جـ = (أ × جا جـ) / جا أ = (15 × جا 80 درجة) / جا 40 درجة، أي ما يقارب 22.9813. مساحة المثلث، باستخدام 1/2 × أ × ب × جا جـ، تقارب 1/2 × 15 × 20.2094 × جا(80 درجة)، أي ما يقارب 149.2681 وحدة مربعة.
قانون جيب التمام: ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS)، أو الأضلاع الثلاثة (SSS)
يُعمّم قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس على المثلثات التي لا تحتوي زاوية قائمة: جـ² = أ² + ب² - 2أب × جتا(جـ)، حيث جـ هي الزاوية المحصورة بين الضلعين أ وب. وعندما تكون جـ تساوي 90 درجة بالضبط، تكون جتا(جـ) = 0 وتختزل الصيغة تمامًا إلى نظرية فيثاغورس، أ² + ب² = جـ².
مثال محلول: ضلعان أ = 8 وب = 11، بزاوية محصورة جـ = 37 درجة. الخطوة 1: جـ² = 8² + 11² - 2 × 8 × 11 × جتا(37 درجة) = 64 + 121 - 176 × 0.7986، أي ما يقارب 185 - 140.55 = 44.45، لذا فإن جـ تقارب 6.6663. الخطوة 2: بمجرد معرفة الأضلاع الثلاثة جميعًا، تُستنتج الزوايا المتبقية من الصيغة المعاد ترتيبها، جتا(أ) = (ب² + جـ² - أ²) / (2بجـ)، فتعطي زاوية أ تقارب 46.2375 درجة وزاوية ب تقارب 96.7625 درجة (بمجموع مع جـ = 37 درجة يساوي 180 درجة، كما هو مطلوب). المساحة، 1/2 × أ × ب × جا(جـ)، تقارب 1/2 × 8 × 11 × جا(37 درجة)، أي ما يقارب 26.4799 وحدة مربعة.
حالة SSA الغامضة، بصراحة تامة
عندما يكون ضلعان وزاوية غير محصورة معلومين (SSA) -- كأن يكون الضلع أ والضلع ب والزاوية أ معلومين، حيث أ ليست الزاوية بين أ وب -- لا يزال يمكن تطبيق قانون الجيب، لكن عدد المثلثات الصالحة التي تحقق القياسات المعطاة ليس واحدًا دائمًا. فحسب القيم المحددة، قد لا يوجد أي مثلث (لا يمكن للزاوية والأضلاع المعطاة تشكيل مثلث مغلق أصلًا)، أو مثلث واحد بالضبط، أو مثلثان متمايزان بالضبط، وكلاهما صالح.
العامل الحاسم هو الارتفاع نق = ب × جا(أ)، مقارنة بالضلع أ. فإذا كان أ أصغر من نق، لا يوجد مثلث. وإذا ساوى أ نق، يوجد مثلث واحد بالضبط، بزاوية قائمة عند الرأس المقابل للضلع أ. وإذا كان نق أصغر من أ وكان أ أصغر من ب، يوجد مثلثان متمايزان. وإذا كان أ أكبر من ب أو يساويه، يوجد مثلث واحد بالضبط.
مثال محلول للحالة الغامضة: ضلع أ = 20، ضلع ب = 25، زاوية أ = 40 درجة. هنا نق = 25 × جا(40 درجة)، أي ما يقارب 16.0697، وبما أن 16.0697 أصغر من 20 و20 أصغر من 25، يحقق مثلثان متمايزان هذه القياسات. بحل كليهما: الأول له زاوية ب تقارب 53.4641 درجة، وزاوية جـ تقارب 86.5359 درجة، وضلع جـ يقارب 31.0576؛ والثاني له زاوية ب تقارب 126.5359 درجة، وزاوية جـ تقارب 13.4641 درجة، وضلع جـ يقارب 7.2446. يستخدم كلا المثلثين القيم الابتدائية نفسها بالضبط أ = 20، ب = 25، أ = 40 درجة، لكنهما يصفان شكلين مختلفين حقًا -- وهذا هو بالضبط سبب تسمية حالة SSA بالغامضة، ولماذا تتطلب هذا التحقق الإضافي الذي لا تتطلبه AAS ولا ASA ولا SAS.
اختيار الصيغة الصحيحة عمليًا
في مجالات مثل المساحة والملاحة والهندسة، الإرشاد العملي هو تحديد أي ثلاثة قياسات متوفرة فعليًا قبل اختيار صيغة، بدلًا من الاعتماد على قانون واحد بدافع العادة. فإذا قيست زاويتان (وهو شائع عند التثليث من نقطتي رصد ثابتتين)، يُطبَّق قانون الجيب مباشرة ودون غموض. وإذا قيست مسافتان والزاوية بينهما (وهو شائع عند تحديد ضلعين من رأس واحد)، يُطبَّق قانون جيب التمام مباشرة ودون غموض.
تظهر حالة SSA أكثر مما قد يبدو -- فمثلًا، عند قياس ضلع معلوم، وضلع ثانٍ، وزاوية ليست محصورة بينهما فعليًا -- ولأنها قد تنتج بصمت حلين صالحين، يستحق الأمر التحقق الصريح من مقارنة أ مقابل نق الموصوفة أعلاه كلما كانت SSA هي المجموعة الوحيدة المتوفرة من المعطيات، بدلًا من افتراض أن المثلث المحسوب أولًا هو الوحيد الذي يطابق البيانات.
الأسئلة الشائعة
متى يجب أن أستخدم قانون الجيب بدلًا من قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيب عندما تكون زاويتان وأي ضلع معلومين (AAS أو ASA)، وهو ما ينتج دائمًا حلًا واحدًا بالضبط، أو عندما يكون ضلعان وزاوية غير محصورة معلومين (SSA)، وهو ما يتطلب التحقق من الحالة الغامضة. واستخدم قانون جيب التمام بدلًا من ذلك عندما يكون ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS) أو الأضلاع الثلاثة جميعها (SSS) معلومة.
ما هي حالة SSA الغامضة؟
تعني SSA أن ضلعين وزاوية غير محصورة معلومان. وحسب القيم المحددة، يمكن أن تنتج هذه المجموعة صفر أو مثلثًا واحدًا أو مثلثين صالحين، بخلاف AAS أو ASA أو SAS، التي تنتج دائمًا حلًا واحدًا بالضبط. فمثلًا، بضلع أ = 20 وضلع ب = 25 وزاوية أ = 40 درجة، يحقق مثلثان متمايزان القياسات المعطاة -- أحدهما بزاوية ب تقارب 53.4641 درجة، والآخر بزاوية ب تقارب 126.5359 درجة.
كيف تجد ضلعًا مجهولًا باستخدام قانون جيب التمام؟
طبّق جـ² = أ² + ب² - 2أب × جتا(جـ)، حيث جـ هي الزاوية المحصورة بين الضلعين أ وب، ثم خذ الجذر التربيعي. لـ أ = 8، ب = 11، جـ = 37 درجة، جـ² = 64 + 121 - 176 × جتا(37 درجة)، أي ما يقارب 44.45، لذا فإن جـ تقارب 6.6663.
كيف تجد ضلعًا مجهولًا باستخدام قانون الجيب؟
أنشئ النسبة أ / جا(أ) = ب / جا(ب) وحل بحثًا عن الضلع المجهول. لزاوية أ = 40 درجة وضلع أ = 15 وزاوية ب = 60 درجة، ضلع ب = (15 × جا 60 درجة) / جا 40 درجة، أي ما يقارب 20.2094.
هل يمكن لقانون جيب التمام حل مثلث من أضلاعه الثلاثة فقط (SSS)؟
نعم. مع معرفة الأضلاع الثلاثة جميعًا، يُعاد ترتيب قانون جيب التمام لحل كل زاوية: جتا(أ) = (ب² + جـ² - أ²) / (2بجـ). ولا يمكن استخدام قانون الجيب لبدء مسألة SSS، لأنه يتطلب زاوية معلومة واحدة على الأقل لإنشاء نسبته، وهو ما لا توفره SSS مباشرة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).