صيغ المساحة بحسب الشكل
يلخّص الجدول التالي الصيغة القياسية والمدخلات المطلوبة لكل شكل مدعوم.
| الشكل | صيغة المساحة | المدخلات المطلوبة |
|---|---|---|
| الدائرة | A = πr² | نصف القطر r |
| المثلث | A = ½ × base × height | القاعدة، الارتفاع |
| المستطيل | A = base × width | القاعدة، العرض |
| شبه المنحرف | A = ½ × (a + b) × height | الضلعان المتوازيان a و b، الارتفاع |
| متوازي الأضلاع | A = base × height | القاعدة، الارتفاع |
| القطع الناقص | A = π × a × b | نصفا المحورين a و b |
| المضلع المنتظم | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | عدد الأضلاع n، طول الضلع s |
| القطاع الدائري | A = ½ r²θ | نصف القطر r، الزاوية θ |
- لا توجد صيغة مغلقة دقيقة لمحيط القطع الناقص، إذ يتطلب تكاملًا إهليلجيًا. تستخدم هذه الأداة تقريب رامانوجان الثاني، وخطؤه يظل نحو 0.02% أو أقل حتى في القطوع الناقصة الشديدة الاستطالة، ويقل كثيرًا كلما اقترب الشكل من الدائرة.
- لا تكون مساحة المثلث المحسوبة من القاعدة والارتفاع (½ × القاعدة × الارتفاع) مضبوطة إلا إذا كان الارتفاع هو المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل، لا طول الضلع المائل.
- إذا كان الشكل مضلعًا غير منتظم، أو كان المثلث معلوم الأضلاع الثلاثة فقط، فاستعمل صيغة هيرون بدلًا من ذلك — راجع حاسبة المثلث.
- تفترض صيغة المضلع المنتظم تساوي الأضلاع n جميعها وتساوي الزوايا الداخلية، ولا تنطبق على المضلعات غير المنتظمة.
ما المقصود بالمساحة؟
المساحة هي مقدار الحيّز ثنائي الأبعاد الذي يحصره حدّ الشكل، وتُقاس بوحدات مربعة (المتر المربع أو القدم المربعة مثلًا). ولكل شكل منتظم صيغة تشتق مساحته من عدد قليل من الأبعاد المقيسة، كنصف قطر الدائرة أو قاعدة المستطيل وعرضه.
والأشكال الثمانية المشمولة هنا — الدائرة والمثلث والمستطيل وشبه المنحرف ومتوازي الأضلاع والقطع الناقص والمضلع المنتظم والقطاع الدائري — تغطي أكثر الأشكال ورودًا في الهندسة المدرسية وحصر كميات البناء ومسائل القياس اليومية. ويستخدم كل شكل منها صيغة قياسية مستقلة.
كيفية استخدام حاسبة المساحة
- اختر الشكل الذي تريد قياسه من قائمة الأشكال المنسدلة.
- أدخل الأبعاد المطلوبة لذلك الشكل — نصف القطر للدائرة مثلًا، أو القاعدة والارتفاع للمثلث أو متوازي الأضلاع.
- في حالة شبه المنحرف، أدخل الضلعين المتوازيين (a و b) والارتفاع العمودي الواصل بينهما.
- في حالة المضلع المنتظم، أدخل عدد الأضلاع (n) وطول أحد الأضلاع (a)؛ أما القطاع الدائري فأدخل نصف قطره وزاويته المركزية بالدرجات.
- اطّلع على المساحة وعلى أي نتيجة ثانوية مثل المحيط أو طول القوس، وهي تتحدث فورًا كلما غيّرت القيم.
الصيغة الكامنة وراء مساحة كل شكل
لكل شكل صيغة مساحة مغلقة خاصة به. وتُحوَّل الزوايا المدخلة للقطاع الدائري من الدرجات إلى الراديان قبل استخدامها، لأن صيغة القطاع معرَّفة بالراديان.
أخطاء شائعة
- إدخال طول الضلع المائل للمثلث بدلًا من الارتفاع العمودي، ما يضخّم المساحة المحسوبة.
- الخلط بين نصف القطر والقطر في الدائرة أو القطاع — فالصيغة تتطلب نصف القطر لا القطر.
- إدخال زاوية القطاع بالراديان في حين تتوقعها الحاسبة بالدرجات (0–360°).
- استبدال أحد الضلعين غير المتوازيين بأحد الضلعين المتوازيين a و b في شبه المنحرف.
- افتراض صلاحية صيغة المضلع المنتظم للأشكال غير المنتظمة ذات الأضلاع أو الزوايا غير المتساوية.
الأسئلة الشائعة
كيف تُحسب مساحة الدائرة؟
مساحة الدائرة تساوي π مضروبًا في مربع نصف القطر (A = πr²). فدائرة نصف قطرها 5 مساحتها π × 5² = π × 25 ≈ 78.5398 وحدة مربعة.
ما مساحة المثلث؟
مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه العمودي (A = ½ × القاعدة × الارتفاع). فمثلث قاعدته 4 وارتفاعه 3 مساحته ½ × 4 × 3 = 6 وحدات مربعة.
كيف تُحسب مساحة شبه المنحرف؟
مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع ضلعيه المتوازيين مضروبًا في الارتفاع العمودي بينهما: A = ½ × (a + b) × الارتفاع. فإذا كان الضلعان المتوازيان 3 و 5 والارتفاع 4، فالمساحة ½ × (3 + 5) × 4 = 16 وحدة مربعة.
ما مساحة المضلع المنتظم؟
مساحة المضلع المنتظم تساوي n × s² ÷ (4 × tan(π/n))، حيث n عدد الأضلاع و s طول الضلع. فمساحة المسدس المنتظم (n = 6) الذي طول ضلعه 4 هي (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41.5692 وحدة مربعة.
كيف تُحسب مساحة القطع الناقص؟
مساحة القطع الناقص تساوي π مضروبًا في نصفي محوريه: A = π × a × b، حيث a و b هما نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر. فقطع ناقص نصفا محوريه 3 و 5 مساحته π × 3 × 5 ≈ 47.1239 وحدة مربعة.
ما مساحة القطاع الدائري؟
مساحة القطاع تساوي نصف مربع نصف القطر مضروبًا في الزاوية المركزية بالراديان: A = ½r²θ. فقطاع نصف قطره 5 وزاويته المركزية 60° (أي θ = π/3 راديان) مساحته ½ × 25 × (π/3) ≈ 13.0900 وحدة مربعة.
هل تعطي الحاسبة المحيط إلى جانب المساحة؟
نعم، فبالنسبة إلى الأشكال التي يكون فيها المحيط معرَّفًا تعريفًا واضحًا من المدخلات المعطاة — المستطيل والقطع الناقص والمضلع المنتظم والقطاع — تعرض الحاسبة المحيط أيضًا (أو محيط الدائرة في حالة الدائرة، وطول القوس في حالة القطاع).
المراجع
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).