صيغ الحجم ومساحة السطح لكل مجسم
يلخص الجدول التالي صيغة الحجم وصيغة مساحة السطح المستخدمتين لكل مجسم.
| المجسم | صيغة الحجم | صيغة مساحة السطح |
|---|---|---|
| كرة | V = (4/3)πr³ | SA = 4πr² |
| مكعب | V = s³ | SA = 6s² |
| متوازي مستطيلات | V = lwh | SA = 2(lw + lh + wh) |
| أسطوانة | V = πr²h | SA = 2πr² + 2πrh |
| مخروط | V = (1/3)πr²h | SA = πr² + πr·slant |
| هرم رباعي القاعدة | V = (1/3)l²h | SA = l² + 2l·slant |
| نصف كرة | V = (2/3)πr³ | SA = 3πr² |
| مخروط ناقص | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | SA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·slant |
- في المخروط والهرم والمخروط الناقص تعتمد صيغة مساحة السطح على الارتفاع الجانبي (أو الحرف الجانبي)، وهو يُشتق داخليًا من نصف القطر أو طول الحرف ومن الارتفاع بواسطة نظرية فيثاغورس، وليس هو الارتفاع العمودي الذي أدخلته.
- المقصود بـ"مساحة السطح" هنا هو مساحة السطح الكلية بما فيها القاعدة أو القاعدتان، وليست المساحة الجانبية وحدها — راجع حاسبة مساحة السطح المخصصة للاطلاع على هذا التفصيل.
- تفترض جميع الصيغ أن المجسمات قائمة وليست مائلة، أي أن القمة أو الوجه العلوي يقع مباشرة فوق مركز القاعدة.
ما هو الحجم؟
الحجم هو مقدار الحيّز ثلاثي الأبعاد الذي يحتويه المجسم، ويُقاس بالوحدات المكعبة (المتر المكعب أو القدم المكعبة مثلًا). ولكل مجسم منتظم صيغة مغلقة تربط حجمه بأبعاده المميِّزة، مثل نصف قطر الكرة أو طول متوازي المستطيلات وعرضه وارتفاعه.
أما مساحة السطح، المعروضة إلى جانب الحجم لكل مجسم هنا، فهي المساحة الكلية لجميع الأوجه الخارجية والأسطح المنحنية. وتُقاس بالوحدات المربعة وتُحسب بصيغة مستقلة عن صيغة الحجم، فالمقداران يصفان خاصيتين فيزيائيتين مختلفتين ولا يحل أحدهما محل الآخر.
كيفية استخدام حاسبة الحجم
- اختر المجسم الذي تريد قياسه من قائمة المجسمات المنسدلة.
- أدخل الأبعاد المطلوبة — نصف القطر للكرة مثلًا، أو الطول والعرض والارتفاع لمتوازي المستطيلات.
- في حالة المخروط الناقص، أدخل نصف القطر السفلي ونصف القطر العلوي (radius2) والارتفاع العمودي بين الوجهين الدائريين.
- في حالة الهرم الرباعي القاعدة، أدخل طول حرف القاعدة في خانة "الطول" ثم الارتفاع العمودي من القاعدة إلى القمة.
- اقرأ الحجم ومساحة السطح، ويجري تحديثهما فورًا مع كل تغيير في الأبعاد.
الصيغة وراء حجم كل مجسم
تُشتق صيغة حجم كل مجسم من التفاضل والتكامل (بمكاملة مساحة المقطع العرضي على امتداد الارتفاع أو نصف القطر)، غير أنها تختزل إلى تعبير مغلق بسيط في حالة هذه الأشكال المعيارية.
أخطاء شائعة
- إدخال القطر بدلًا من نصف القطر: في الكرة ونصف الكرة يضاعف ذلك الحجم 8 مرات لأن حجمهما يتناسب مع r³، أما في الأسطوانة والمخروط فيضاعفه 4 مرات فقط لأن حجمهما يتناسب مع r² لا مع r³.
- الخلط بين طول حرف المكعب وبين الطول والعرض والارتفاع المستقلة في متوازي المستطيلات.
- في المخروط الناقص، إدخال نصف القطر العلوي (radius2) أكبر من نصف القطر السفلي دون الانتباه إلى أي وجه هو أيهما — الصيغة متماثلة، لكن التسمية هي التي تحدد الاتجاه.
- خلط الوحدات، كإدخال الارتفاع بالأقدام ونصف القطر بالبوصات، وهو ما يؤدي إلى نتيجة خاطئة.
- افتراض أن الحجم ومساحة السطح يتغيران بالنسبة نفسها: مضاعفة نصف قطر الكرة تضرب الحجم في 8 بينما تضرب مساحة السطح في 4 فقط.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب حجم الكرة؟
حجم الكرة يساوي (4/3) × π × نصف القطر³. فكرة نصف قطرها 3 حجمها (4/3) × π × 27 ≈ 113.0973 وحدة مكعبة.
ما هو حجم الأسطوانة؟
حجم الأسطوانة يساوي π × نصف القطر² × الارتفاع. فأسطوانة نصف قطرها 3 وارتفاعها 5 حجمها π × 9 × 5 ≈ 141.3717 وحدة مكعبة.
كيف يُحسب حجم المخروط؟
حجم المخروط يساوي ثلث π × نصف القطر² × الارتفاع. فمخروط نصف قطره 3 وارتفاعه 5 حجمه (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47.1239 وحدة مكعبة، أي ثلث حجم أسطوانة لها نصف القطر والارتفاع نفسهما تمامًا.
ما هو حجم متوازي المستطيلات؟
حجم متوازي المستطيلات يساوي الطول × العرض × الارتفاع. فصندوق أبعاده 4 × 3 × 5 حجمه 4 × 3 × 5 = 60 وحدة مكعبة.
كيف يُحسب حجم المخروط الناقص؟
حجم المخروط الناقص يساوي (1/3) × π × الارتفاع × (r₁² + r₁r₂ + r₂²)، حيث r₁ وr₂ هما نصفا قطري الوجهين الدائريين. فمخروط ناقص نصف قطره السفلي 3 والعلوي 2 وارتفاعه 5 حجمه (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99.4838 وحدة مكعبة.
لماذا تعرض الحاسبة مساحة السطح أيضًا؟
الحجم ومساحة السطح وصفان أساسيان لأي مجسم وكثيرًا ما يُطلبان معًا — فالحجم يفيد في تقدير السعة ومساحة السطح في تقدير كمية المواد أو الطلاء اللازمة — لذا يُحسب المقداران من الأبعاد نفسها التي أدخلتها.
ما الفرق بين صيغة الكرة وصيغة نصف الكرة؟
نصف الكرة يساوي بالضبط نصف حجم الكرة: V = (2/3)πr³ مقابل (4/3)πr³ للكرة الكاملة. أما مساحة سطحه فليست نصف مساحة سطح الكرة، لأنها تشمل أيضًا القاعدة الدائرية المستوية: SA = 3πr² (أي 2πr² للسطح المنحني و πr² للقاعدة المستوية) مقابل 4πr² للكرة الكاملة.
المراجع
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).