ما الذي تنص عليه نظرية فيثاغورس
في أي مثلث قائم الزاوية -- مثلث يحتوي على زاوية واحدة بالضبط قياسها 90 درجة -- يساوي مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ويُسمّيان الضلعين القائمين. وتُكتب الصيغة: أ² + ب² = جـ²، حيث أ وب هما الضلعان القائمان وجـ هو الوتر. سُمّيت العلاقة نسبة إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس، رغم أن الأدلة تُظهر أن العلاقة العددية نفسها كانت معروفة ومستخدمة، بمعزل عن أي برهان رسمي، لدى علماء الرياضيات البابليين وغيرهم من القدماء قبل فيثاغورس بوقت طويل.
تنطبق النظرية فقط على المثلثات القائمة الزاوية على مستوٍ مستوٍ (إقليدي). فهي لا تنطبق على المثلثات التي لا تحتوي على زاوية قائمة -- وتلك تتطلب بدلًا منها قانون جيب التمام الأعم -- ولا تنطبق تمامًا على المثلثات المرسومة على سطح منحنٍ، كسطح الكرة، حيث تختلف الهندسة نفسها.
لماذا تصح النظرية: برهان كلاسيكي بإعادة الترتيب
من أشهر توضيحات النظرية، وغالبًا ما يُسمّى برهان إعادة الترتيب، يُستخدم فيه أربع نسخ متطابقة من المثلث القائم نفسه (بضلعين قائمين أ وب ووتر جـ) مرتّبة داخل مربع كبير واحد طول ضلعه (أ + ب). عند ترتيبها بطريقة معينة، تحيط المثلثات الأربعة بمربع داخلي أصغر مائل طول ضلعه جـ، فتنقسم مساحة المربع الكبير إلى المثلثات الأربعة زائد ذلك المربع الداخلي: (أ + ب)² = 4 × (1/2 × أ × ب) + جـ²، وهو ما يبسَّط إلى (أ + ب)² = 2أب + جـ².
بتوسيع الطرف الأيسر جبريًا، (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب². وبمساواة التعبيرين اللذين يمثلان المساحة الإجمالية نفسها: أ² + 2أب + ب² = 2أب + جـ². وبطرح 2أب من الطرفين يتبقى أ² + ب² = جـ² -- نظرية فيثاغورس، مُشتقّة فقط من مقارنة طريقتين لحساب مساحة المربع نفسه. هذا البرهان واحد من مئات البراهين المنشورة عبر القرون؛ فموسوعة إليشا لوميس The Pythagorean Proposition ترصد 367 برهانًا مختلفًا للنظرية.
ثلاثيات فيثاغورس: 3-4-5 وما بعدها
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة أ وب وجـ تحقق أ² + ب² = جـ² تمامًا، أي أن مثلثًا قائم الزاوية بأطوال أضلاع صحيحة كهذه موجود دون أي حاجة إلى تقريب. أصغر ثلاثية وأكثرها شهرة هي 3-4-5، إذ إن 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
أي مضاعف صحيح لثلاثية معروفة هو أيضًا ثلاثية صالحة -- فمثلًا، مضاعفة 3-4-5 تعطي 6-8-10، وتثليثها يعطي 9-12-15، وكلاهما يحقق أيضًا أ² + ب² = جـ². تُسمّى الثلاثيات التي ليست مضاعفات لثلاثية أصغر، مثل 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 أدناه، ثلاثيات فيثاغورس أولية.
| الضلع أ | الضلع ب | الوتر جـ |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
استخدامات واقعية: الأقطار والمسافات
لأن قطر المستطيل، مع ضلعين متجاورين، يشكّل مثلثًا قائم الزاوية، تعطي نظرية فيثاغورس طول القطر مباشرة: القطر = الجذر التربيعي لـ (الطول² + العرض²). مستطيل بأبعاد 6×8 وحدات له قطر يساوي الجذر التربيعي لـ (6² + 8²) = الجذر التربيعي لـ (36 + 64) = الجذر التربيعي لـ 100 = 10 وحدات بالضبط -- وهي الثلاثية 6-8-10، مضاعف للثلاثية 3-4-5.
يمتد المبدأ نفسه إلى ثلاثة أبعاد ليعطي القطر الفراغي لصندوق مستطيل، بتطبيق النظرية مرتين: أولًا لإيجاد قطر قاعدة المستطيل، ثم دمج ذلك القطر مع ارتفاع الصندوق. صندوق بأبعاد 12×9×8 وحدات له قطر فراغي يساوي الجذر التربيعي لـ (12² + 9² + 8²) = الجذر التربيعي لـ (144 + 81 + 64) = الجذر التربيعي لـ 289 = 17 وحدة بالضبط. وصيغة المسافة الإحداثية المستخدمة لإيجاد المسافة المستقيمة بين نقطتين، حيث المسافة = الجذر التربيعي لـ ((س2-س1)² + (ص2-ص1)²)، هي النظرية نفسها مطبَّقة مباشرة على الفروق الأفقية والرأسية بين نقطتين: فللنقطتين (1,2) و(4,6)، المسافة = الجذر التربيعي لـ (3² + 4²) = الجذر التربيعي لـ 25 = 5.
العكس: استخدام 3-4-5 للتحقق من زاوية قائمة
عكس نظرية فيثاغورس صحيح أيضًا ويُستخدم كثيرًا عمليًا: فإذا حققت ثلاثة أطوال أضلاع مقاسة العلاقة أ² + ب² = جـ²، فلا بد أن المثلث الذي تشكّله يحتوي على زاوية قائمة مقابل أطول ضلع، حتى لو لم تُقَس تلك الزاوية مباشرة أبدًا. وهذا العكس هو أساس طريقة 3-4-5 التقليدية المستخدمة في البناء والنجارة للتحقق من زاوية قائمة (90 درجة) أو ضبطها: فقياس 3 وحدات على طول ضلع، و4 وحدات على طول الضلع العمودي عليه، والتأكد من أن القطر بين هاتين النقطتين المحددتين يساوي بالضبط 5 وحدات يؤكد أن الزاوية زاوية قائمة حقيقية.
ينجح هذا لأن العكس يضمن نتيجة فريدة: ثلاثة أطوال موجبة تحقق أ² + ب² = جـ² لا يمكن أن تشكّل إلا مثلثًا قائم الزاوية، وليس مثلثًا حادًا أو منفرجًا أبدًا، مع وجود الزاوية القائمة مقابل أطول ضلع، جـ. وأي مضاعف للثلاثية 3-4-5 -- مثل 6-8-10 أو 9-12-15 -- يعمل بالطريقة نفسها للتحقق من زوايا أكبر.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة نظرية فيثاغورس؟
أ² + ب² = جـ²، حيث أ وب هما الضلعان القائمان في مثلث قائم الزاوية وجـ هو الوتر، الضلع المقابل للزاوية القائمة. تنطبق فقط على المثلثات القائمة على مستوٍ مستوٍ.
كيف تُبرهن نظرية فيثاغورس؟
إحدى الطرق الكلاسيكية، برهان إعادة الترتيب، ترتّب أربعة مثلثات قائمة متطابقة داخل مربع طول ضلعه (أ + ب) بحيث يمكن حساب المساحة الإجمالية بطريقتين مختلفتين -- مرة كـ(أ + ب)²، ومرة كأربعة مثلثات زائد مربع داخلي مائل مساحته جـ². وبمساواة تعبيري المساحة هذين وتبسيطهما جبريًا ينتج أ² + ب² = جـ². وقد نُشرت مئات البراهين البديلة أيضًا، بما فيها موسوعة إليشا لوميس التي توثّق 367 منها.
ما هي ثلاثية فيثاغورس، وما أصغرها؟
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة أ وب وجـ تحقق أ² + ب² = جـ² تمامًا. أصغر ثلاثية وأكثرها شيوعًا هي 3-4-5، إذ إن 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². ومن الثلاثيات الشائعة الأخرى 5-12-13 و8-15-17 و7-24-25 و9-40-41.
كيف تُستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد قطر مستطيل؟
يشكّل قطر المستطيل وتر مثلث قائم الزاوية بطول المستطيل وعرضه كضلعين قائمين، لذا القطر = الجذر التربيعي لـ (الطول² + العرض²). مستطيل بأبعاد 6×8 له قطر يساوي الجذر التربيعي لـ (36 + 64) = الجذر التربيعي لـ 100 = 10 وحدات بالضبط.
هل تعمل نظرية فيثاغورس على الأسطح المنحنية؟
لا. تصح النظرية تمامًا فقط للمثلثات القائمة المرسومة على مستوٍ مستوٍ (إقليدي). أما على سطح منحنٍ، كسطح الكرة، فإن العلاقات بين الزوايا وأطوال الأضلاع تحكمها هندسة مختلفة غير إقليدية، ولا تصح أ² + ب² = جـ² تمامًا بعد الآن لمثلث بزاوية 90 درجة.
كيف يستخدم البنّاؤون قاعدة 3-4-5 للتحقق من زاوية قائمة؟
بموجب عكس نظرية فيثاغورس، إذا حققت ثلاثة أطوال مقاسة العلاقة أ² + ب² = جـ²، فلا بد أن الزاوية المقابلة لأطول طول تساوي 90 درجة بالضبط. فقياس 3 وحدات على طول ضلع و4 وحدات على ضلع عمودي عليه، ثم التأكد من أن المسافة بين هاتين النقطتين تساوي بالضبط 5 وحدات، يتحقق من زاوية قائمة حقيقية -- وهي طريقة شائعة الاستخدام في البناء والنجارة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).