ثلاثيات فيثاغورس الشائعة
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق a² + b² = c² تحقيقًا تامًا. ويورد الجدول التالي أصغر الثلاثيات وأكثرها استعمالًا.
| ضلع القائمة a | ضلع القائمة b | الوتر c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- كل مضاعف صحيح لثلاثية فيثاغورس هو ثلاثية صحيحة أيضًا — فالثلاثيتان 6-8-10 و9-12-15 كلتاهما من مضاعفات 3-4-5.
- لا تصح نظرية فيثاغورس تمامًا إلا في المثلثات القائمة الزاوية الواقعة على مستوٍ مستوٍ (إقليدي)؛ وهي لا تنطبق على المثلثات المرسومة على سطح منحنٍ ككرة.
ما نظرية فيثاغورس؟
تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية — أي الضلع المقابل للزاوية القائمة — يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين المسمّيين ضلعي القائمة: a² + b² = c². وهي من أوسع العلاقات الهندسية استعمالًا، وتُنسب إلى الرياضياتي الإغريقي القديم فيثاغورس، وقد بُرهنت برهانًا مستقلًا في أكثر من تقليد رياضي قديم.
وتنطبق النظرية حصرًا على المثلثات القائمة الزاوية، أي التي تحتوي على زاوية واحدة قياسها 90° بالضبط. وتُستعمل لإيجاد ضلع مجهول متى عُلم الضلعان الآخران، وعليها تقوم صيغة المسافة والمتطابقات المثلثية وعدد لا يحصى من مسائل القياس العملية في البناء والملاحة والهندسة.
كيفية استخدام حاسبة نظرية فيثاغورس
- اختر المطلوب إيجاده: الوتر (بمعلومية ضلعي القائمة)، أو ضلع القائمة المجهول (بمعلومية الوتر وأحد ضلعي القائمة).
- في نمط الوتر، أدخل ضلع القائمة a وضلع القائمة b.
- في نمط ضلع القائمة المجهول، أدخل ضلع القائمة المعلوم (a) والوتر (c)؛ ويجب أن يكون الوتر أكبر من ضلع القائمة المعلوم.
- اطّلع على الضلع المجهول، إضافةً إلى مساحة المثلث ومحيطه المحسوبين من الأضلاع الثلاثة.
صيغة نظرية فيثاغورس
المعادلة الأساسية واحدة، وإنما يُعاد ترتيبها بحسب الضلع المجهول.
أخطاء شائعة
- تطبيق الصيغة على مثلث غير قائم الزاوية — فالنظرية لا تصح إلا إذا كانت إحدى الزوايا 90° بالضبط.
- إقحام الوتر في a² + b² = c² كأنه ضلع قائمة، بدلًا من حلّ c² − a² = b² لإيجاد ضلع القائمة المجهول.
- إدخال قيمة لضلع القائمة تساوي الوتر أو تزيد عليه في نمط "ضلع القائمة المجهول"، وهو أمر مستحيل هندسيًا في المثلث القائم الزاوية.
- نسيان أخذ الجذر التربيعي بعد جمع المربعين (أو طرحهما) — فالنظرية تعطي القيمة المربعة أولًا.
الأسئلة الشائعة
ما صيغة نظرية فيثاغورس؟
a² + b² = c²، حيث a و b ضلعا القائمة في المثلث القائم الزاوية، و c هو الوتر أي الضلع المقابل للزاوية القائمة.
كيف يُوجد وتر المثلث القائم الزاوية؟
خذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي ضلعي القائمة: c = √(a² + b²). فإذا كان ضلعا القائمة 3 و4، فإن c = √(9 + 16) = √25 = 5.
كيف يُوجد ضلع القائمة المجهول بنظرية فيثاغورس؟
اطرح مربع ضلع القائمة المعلوم من مربع الوتر، ثم خذ الجذر التربيعي: b = √(c² − a²). فإذا كان الوتر 5 وضلع القائمة المعلوم 3، فإن b = √(25 − 9) = √16 = 4.
ما ثلاثية فيثاغورس؟
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a و b و c تحقق a² + b² = c² تحقيقًا تامًا، مثل 3-4-5 أو 5-12-13 أو 8-15-17.
هل تنطبق نظرية فيثاغورس على جميع المثلثات؟
لا. فهي تنطبق على المثلثات القائمة الزاوية فقط، أي التي فيها زاوية واحدة قياسها 90° بالضبط. أما المثلثات التي لا زاوية قائمة فيها فيُستعمل معها قانون جيب التمام، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس.
ما مساحة المثلث القائم الزاوية 3-4-5؟
مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب ضلعي قائمته: A = ½ × a × b. فإذا كان ضلعا القائمة 3 و4، فالمساحة ½ × 3 × 4 = 6 وحدات مربعة، والمحيط 3 + 4 + 5 = 12 وحدة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).