قانون جيب التمام مقابل نظرية فيثاغورس
يوضح الجدول أدناه سلوك قانون جيب التمام مع تغيّر الزاوية المحصورة، مع اعتبار نظرية فيثاغورس الحالة الخاصة عند 90°.
| الزاوية C | cos C | الأثر على c² |
|---|---|---|
| 90° (زاوية قائمة) | 0 | c² = a² + b² (نظرية فيثاغورس تمامًا) |
| أقل من 90° (حادة) | موجب | c² < a² + b² (الضلع c أقصر منه في حالة الزاوية القائمة) |
| أكبر من 90° (منفرجة) | سالب | c² > a² + b² (الضلع c أطول منه في حالة الزاوية القائمة) |
- يصلح قانون جيب التمام لأي مثلث وليس للمثلثات القائمة فحسب، فهو الحالة العامة التي تمثل نظرية فيثاغورس حالتها الخاصة عند 90°.
- يجب أن تقع الزاوية C تمامًا بين 0° و180°، إذ تصبح النقاط الثلاث على استقامة واحدة عند أي من الحدين فلا يوجد مثلث.
ما هو قانون جيب التمام؟
يربط قانون جيب التمام بين أضلاع المثلث الثلاثة وجيب تمام إحدى زواياه على النحو التالي: c² = a² + b² − 2ab·cos C. وهو تعميم لنظرية فيثاغورس، إذ عندما تكون الزاوية C مساوية تمامًا 90° يصبح cos C = 0 فتؤول الصيغة إلى c² = a² + b²، وهي علاقة فيثاغورس المعروفة.
وبمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (حالة SAS المعتمدة هنا)، يعطي قانون جيب التمام الضلع الثالث مباشرة، ثم تتيح الصيغة نفسها بعد إعادة ترتيبها استخراج الزاويتين المتبقيتين.
كيفية استخدام حاسبة قانون جيب التمام
- أدخل الضلع a والضلع b، وهما الضلعان المعلومان.
- أدخل الزاوية C، وهي الزاوية المحصورة بين الضلعين a و b، على أن تقع تمامًا بين 0° و180°.
- اقرأ الضلع c (الضلع المجهول)، والزاويتين A و B، ومساحة المثلث.
صيغة قانون جيب التمام
تُعاد صياغة العلاقة الأساسية نفسها لإيجاد ضلع مجهول، أو لإيجاد زاوية متى صارت الأضلاع الثلاثة معلومة.
أخطاء شائعة
- إدخال زاوية ليست في الواقع محصورة بين الضلعين a و b، فحالة SAS في قانون جيب التمام تتطلب الزاوية المحصورة تحديدًا.
- إغفال إشارة الطرح في c² = a² + b² − 2ab·cos C، وهو خطأ يسهل الوقوع فيه عندما تكون الزاوية حادة وقيمة cos C موجبة.
- استعمال قانون جيب التمام لإيجاد ضلع مجهول عندما تكون المعطيات زاويتين وضلعًا واحدًا فقط، فهذه الحالة تستدعي قانون الجيوب بدلًا منه.
- إدخال الزاوية C بالراديان بدلًا من الدرجات المطلوبة.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة قانون جيب التمام؟
الصيغة هي c² = a² + b² − 2ab·cos C، حيث C هي الزاوية المحصورة بين الضلعين a و b، و c هو الضلع المقابل للزاوية C.
كيف تُوجد ضلعًا مجهولًا باستخدام قانون جيب التمام؟
خذ الجذر التربيعي بعد تطبيق الصيغة: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). فمثلًا عندما يكون a = 5 و b = 7 و C = 49°، ينتج c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28.076 ≈ 5.2987.
كيف تُوجد زاوية باستخدام قانون جيب التمام؟
أعد ترتيب الصيغة لإيجاد جيب التمام ثم خذ جيب التمام العكسي: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). فعندما يكون a = 5 و b = 7 و c ≈ 5.2987، تكون الزاوية A ≈ 45.4117°.
ما علاقة قانون جيب التمام بنظرية فيثاغورس؟
عندما تساوي الزاوية المحصورة C تمامًا 90°، يصبح cos C = 0، فيؤول قانون جيب التمام c² = a² + b² − 2ab·cos C إلى نظرية فيثاغورس تمامًا: c² = a² + b².
متى تستخدم قانون جيب التمام بدلًا من قانون الجيوب؟
استخدم قانون جيب التمام عندما تكون الأضلاع الثلاثة معلومة (SSS) أو عندما يكون لديك ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS)، فهاتان حالتان لا يحلهما قانون الجيوب مباشرة. أما قانون الجيوب فيُستخدم عندما تُعرف زاويتان وضلع، أو ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما.
ما مساحة مثلث ضلعاه 5 و7 والزاوية المحصورة بينهما 49°؟
المساحة = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0.5 × 35 × 0.754710 ≈ 13.2074 وحدة مربعة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).