القوس والوتر والقطاع عند زوايا شائعة
يوضّح الجدول التالي مقارنة بين طول القوس وطول الوتر في دائرة نصف قطرها 10 عند عدد من الزوايا المركزية الشائعة.
| الزاوية المركزية | طول القوس (r=10) | طول الوتر (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5.2360 | 5.1764 |
| 60° | 10.4720 | 10.0000 |
| 90° | 15.7080 | 14.1421 |
| 180° | 31.4159 | 20.0000 |
| 360° | 62.8319 (المحيط الكامل) | 0 (نقطة البداية = نقطة النهاية) |
- عند 360° يساوي طول القوس محيط الدائرة كاملًا (2πr) ويصبح طول الوتر صفرًا لأن نقطتي البداية والنهاية تنطبقان.
- طول القوس أكبر من طول الوتر أو مساوٍ له عند الزاوية نفسها دائمًا، لأن الخط المستقيم أقصر طريق بين نقطتين بينما ينحني القوس بينهما.
- لا معنى لمساحة القطعة إلا عند زوايا محصورة تمامًا بين 0° و360°، وعند 0° بالضبط تكون مساحتا القطاع والقطعة صفرًا.
ما المقصود بطول القوس والوتر ومساحة القطاع؟
القوس جزء منحنٍ من محيط الدائرة يحدّه نصفا قطر وزاوية مركزية، وطول القوس هو المسافة المقيسة على هذا المنحنى. أما الوتر فهو القطعة المستقيمة الواصلة بين طرفي القوس، وهو أقصر من القوس دائمًا إلا حين تؤول الزاوية إلى الصفر.
والقطاع الدائري هو المنطقة التي تشبه شريحة الفطيرة ويحدّها القوس ونصفا القطر، بينما القطعة الدائرية هي المنطقة الأصغر التي يحدّها القوس والوتر، أي القطاع ناقص المثلث المكوَّن من نصفي القطر والوتر. وتُحسب هذه المقادير الأربعة مباشرة من نصف القطر والزاوية المركزية.
كيفية استخدام حاسبة طول القوس
- أدخل نصف قطر الدائرة.
- أدخل الزاوية المركزية بالدرجات، بين 0° و360°.
- اقرأ طول القوس وطول الوتر ومساحة القطاع ومساحة القطعة، وهي تتحدث فورًا.
القوانين التي يقوم عليها طول القوس ومساحة القطاع
تتطلب جميع هذه القوانين أن تكون الزاوية المركزية مقدَّرة بالراديان (θ = الزاوية بالدرجات × π / 180)، وتُجري الحاسبة هذا التحويل تلقائيًا من المُدخل بالدرجات.
أخطاء شائعة
- إدخال الزاوية بالراديان بينما تتوقع الحاسبة قيمتها بالدرجات.
- الخلط بين طول القوس (مسافة منحنية) وطول الوتر (مسافة مستقيمة)، فهما لا يتساويان إلا في النهاية حين تقترب الزاوية من الصفر.
- الخلط بين مساحة القطاع (يحدّها نصفا قطر والقوس) ومساحة القطعة (يحدّها الوتر والقوس)، والقطعة أصغر دائمًا.
- استعمال زاوية أكبر من 360°، وهي لا تقابل قطاعًا واحدًا محدد المعالم في دائرة واحدة.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب طول القوس؟
طول القوس يساوي نصف القطر مضروبًا في الزاوية المركزية بالراديان: s = rθ. فعند نصف قطر 10 وزاوية 60° (أي θ = π/3 راديان) يكون طول القوس 10 × π/3 ≈ 10.4720 وحدة.
ما الفرق بين طول القوس وطول الوتر؟
طول القوس هو المسافة على الحافة المنحنية للدائرة بين نقطتين، أما طول الوتر فهو المسافة المستقيمة بين النقطتين نفسيهما. فعند نصف قطر 10 وزاوية 60° يبلغ طول القوس نحو 10.4720 بينما يساوي الوتر 10 بالضبط، لأن الوتر = 2 × 10 × جا(30°) = 20 × 0.5 = 10.
كيف نحسب مساحة القطاع الدائري؟
مساحة القطاع تساوي نصف مربع نصف القطر مضروبًا في الزاوية المركزية بالراديان: A = ½r²θ. فعند نصف قطر 10 وزاوية 60° تكون مساحة القطاع ½ × 100 × (π/3) ≈ 52.3599 وحدة مربعة.
ما القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي المنطقة المحصورة بين الوتر والقوس الذي يقطعه، أي مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث المكوَّن من نصفي القطر والوتر. فعند نصف قطر 10 وزاوية 60° تبلغ مساحة القطعة ½ × 100 × (π/3 − جا 60°) ≈ 9.0586 وحدة مربعة.
كيف نحوّل الدرجات إلى راديان لاستعمال هذه القوانين؟
اضرب الزاوية بالدرجات في π/180. فمثلًا 60° × π/180 = π/3 راديان ≈ 1.0472 راديان.
كم يبلغ طول القوس في الدائرة الكاملة؟
عند زاوية مركزية مقدارها 360° (أي 2π راديان) يساوي طول القوس المحيط الكامل 2πr. فعند نصف قطر 10 يكون ذلك 2π × 10 ≈ 62.8319 وحدة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).