متى نستخدم قانون الجيوب؟
ينطبق قانون الجيوب مباشرة على حالتين من حالات حل المثلث، أما الحالات الأخرى فتستدعي قانون جيب التمام.
| المعطيات المعلومة | الطريقة الأنسب |
|---|---|
| زاويتان + أي ضلع (AAS أو ASA) | قانون الجيوب — حل وحيد لا لبس فيه |
| ضلعان + زاوية غير محصورة (SSA) | قانون الجيوب، مع الانتباه إلى الحالة الغامضة (يحتمل 0 أو 1 أو 2 من المثلثات) |
| ثلاثة أضلاع (SSS) | قانون جيب التمام |
| ضلعان + الزاوية المحصورة (SAS) | قانون جيب التمام |
- لنمط الإدخال AAS/ASA المعتمد في هذه الحاسبة (زاويتان وضلع واحد) حل صحيح وحيد دائماً، ولذلك لا تظهر هنا الحالة الغامضة SSA.
- مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180° بالضبط؛ فإذا بلغ مجموع الزاويتين المُدخلتين 180° أو أكثر، فلا وجود لمثلث صالح ولا تعرض الحاسبة أي نتيجة.
ما هو قانون الجيوب؟
ينص قانون الجيوب على أن نسبة طول الضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة في أي مثلث ولأضلاعه الثلاثة: a / sin A = b / sin B = c / sin C. وهذا ما يتيح إيجاد ضلع مجهول أو زاوية مجهولة متى توافرت معطيات كافية.
وإذا عُلمت زاويتان والضلع المقابل لإحداهما (وهي حالة AAS أو ASA المعتمدة هنا)، تحدد أبعاد المثلث تحديداً تاماً لا لبس فيه — بخلاف حالة SSA (ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما) التي قد تعطي أحياناً مثلثين صالحين أو مثلثاً واحداً أو لا مثلث على الإطلاق، وهي ما تُعرف بالحالة الغامضة.
كيفية استخدام حاسبة قانون الجيوب
- أدخل الزاوية A وطول الضلع a، وهو الضلع المقابل للزاوية A.
- أدخل الزاوية B، وهي الزاوية الثانية المعلومة.
- تشترط الحاسبة أن يكون مجموع الزاويتين A و B أقل من 180°، لأن الزاوية الثالثة (C) يجب أن تكون موجبة.
- اقرأ الضلع b والزاوية C والضلع c ومساحة المثلث، وجميعها مشتقة من قانون الجيوب.
صيغة قانون الجيوب
بعد إيجاد الزاوية C من مجموع زوايا المثلث (180° − A − B)، تُطبَّق نسبة قانون الجيوب a / sin A لإيجاد الضلعين المتبقيين.
أخطاء شائعة
- إدخال الضلع a على أنه مقابل للزاوية B بدلاً من الزاوية A — فقانون الجيوب يقرن كل ضلع بالزاوية المقابلة له تحديداً.
- إدخال زاويتين مجموعهما 180° أو أكثر، فلا يبقى مجال لزاوية ثالثة صالحة.
- الخلط بين قانون الجيوب (نسب الأضلاع إلى جيوب الزوايا المقابلة) وقانون جيب التمام (المستخدم في حالتي SAS و SSS).
- نسيان أن الزوايا يجب أن تُدخل بالدرجات لا بالراديان.
الأسئلة الشائعة
ما صيغة قانون الجيوب؟
a / sin A = b / sin B = c / sin C، حيث يُقرن كل ضلع بجيب الزاوية المقابلة له مباشرة.
كيف نوجد ضلعاً مجهولاً باستخدام قانون الجيوب؟
كوّن النسبة باستخدام الضلع والزاوية المعلومين ثم أوجد الضلع المجهول: b = (a × sin B) / sin A. فإذا كانت A = 30° و a = 10 و B = 45°، فإن الضلع b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0.707107) / 0.5 ≈ 14.1421.
ما الزاوية الثالثة إذا كانت A = 30° و B = 45°؟
بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، فإن الزاوية C = 180° − 30° − 45° = 105°.
ما الحالة الغامضة في قانون الجيوب؟
تظهر الحالة الغامضة (SSA) عندما يكون المعلوم ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما — وبحسب القيم المعطاة قد يوجد صفر أو مثلث واحد أو مثلثان مختلفان يحققان القياسات نفسها. وهي لا تظهر في نمط الإدخال AAS المعتمد في هذه الحاسبة، الذي له حل وحيد دائماً.
كيف نحسب مساحة المثلث باستخدام قانون الجيوب؟
متى عُلم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، تكون المساحة = ½ × الضلع₁ × الضلع₂ × جيب الزاوية المحصورة. فمثلاً عند a = 10 و b ≈ 14.1421 والزاوية المحصورة C = 105°، تكون المساحة = ½ × 10 × 14.1421 × sin(105°) ≈ 68.3013 وحدة مربعة.
متى أستخدم قانون الجيوب بدلاً من قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيوب عندما تعرف زاويتين وأي ضلع (AAS/ASA)، أو ضلعين وزاوية غير محصورة (SSA). واستخدم قانون جيب التمام عندما تعرف الأضلاع الثلاثة (SSS) أو ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)، لأن قانون الجيوب لا يحل هاتين الحالتين مباشرة.
المراجع
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).