Entendendo seu desvio padrão
Para dados aproximadamente normais (em forma de sino), a regra empírica descreve que parcela dos dados cai dentro de um dado número de desvios padrão em torno da média.
| Intervalo em torno da média | Parcela aproximada dos dados (distribuição normal) |
|---|---|
| Dentro de 1 desvio padrão | Cerca de 68% |
| Dentro de 2 desvios padrão | Cerca de 95% |
| Dentro de 3 desvios padrão | Cerca de 99,7% |
- A regra empírica 68-95-99,7 vale para distribuições aproximadamente normais; dados fortemente assimétricos ou de caudas pesadas podem se afastar bastante desses percentuais.
- Use a forma amostral (n - 1) quando os dados forem uma amostra usada para inferir sobre uma população maior; use a forma populacional (n) apenas quando o conjunto for toda a população de interesse.
- O desvio padrão é sensível a valores atípicos, já que os desvios são elevados ao quadrado; um único valor extremo pode inflá-lo de forma acentuada.
- Esta calculadora exige pelo menos dois valores, porque não é possível estimar dispersão a partir de uma única observação.
O que é desvio padrão?
O desvio padrão quantifica a distância típica entre os valores dos dados e a média deles. Um desvio padrão pequeno indica que os valores se agrupam bem perto da média; um desvio grande indica que estão amplamente espalhados. Ele é expresso na mesma unidade dos dados, o que o torna mais fácil de interpretar do que a variância (seu quadrado).
O ponto didático central é a distinção entre as formas amostral e populacional. O desvio padrão populacional (sigma) divide a soma dos desvios ao quadrado por n e só é correto quando o conjunto de dados é toda a população de interesse — por exemplo, as notas de prova de todos os alunos de uma turma específica. Já o desvio padrão amostral (s) divide por n - 1 e é o correto quando os dados são uma amostra usada para estimar a dispersão de uma população maior.
Dividir por n - 1 é o que se chama de correção de Bessel. Como a média amostral é calculada a partir dos mesmos dados, os desvios em torno dela são sistematicamente um pouco menores que os desvios em torno da verdadeira média populacional (desconhecida); dividir por n - 1 em vez de n compensa esse efeito e torna a variância amostral um estimador não viesado da variância populacional. A correção pesa mais em amostras pequenas e se torna desprezível conforme n cresce.
Como usar esta calculadora de desvio padrão
- Informe pelo menos dois números separados por ;, por exemplo: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Leia o desvio padrão amostral (s) se seus dados forem uma amostra de uma população maior — o caso habitual em pesquisas, experimentos e controles de qualidade.
- Leia o desvio padrão populacional (sigma) se seus dados forem a população completa de interesse.
- Use a média, a variância amostral e a contagem para conferir o cálculo ou levá-lo adiante em análises como intervalos de confiança e escores Z.
Fórmulas do desvio padrão
As duas formas começam do mesmo jeito: calcule a média, subtraia-a de cada valor, eleve cada desvio ao quadrado e some os quadrados. A forma populacional divide essa soma por n e extrai a raiz quadrada; a forma amostral divide por n - 1 e extrai a raiz quadrada.
Exemplo resolvido: os valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Passo 1 — média: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Passo 2 — desvios ao quadrado: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que somam 32. Passo 3 (população) — 32 / 8 = 4, e √4 = 2. Passo 4 (amostra) — 32 / 7 = 4,571429 (a variância amostral), e √4,571429 = 2,13809 (arredondado).
Para os mesmos dados, o valor amostral é sempre um pouco maior que o populacional, porque divide por um número menor; a exceção é quando todos os valores são idênticos, caso em que ambos são zero. A diferença encolhe conforme a amostra cresce.
Erros comuns
- Usar a fórmula populacional (dividir por n) em dados amostrais — isso subestima sistematicamente a dispersão da população de onde a amostra veio; para amostras, divida por n - 1.
- Confundir variância com desvio padrão: a variância é o quadrado do desvio padrão e se expressa em unidades ao quadrado.
- Aplicar a regra 68-95-99,7 a dados claramente assimétricos ou de caudas pesadas, em que ela não vale.
- Comparar desvios padrão de conjuntos medidos em unidades diferentes ou em escalas muito distintas sem padronizar (para dispersão relativa, o coeficiente de variação divide pela média).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre desvio padrão amostral e populacional?
O desvio padrão populacional divide a soma dos desvios ao quadrado por n e é correto quando seus dados são toda a população. O desvio padrão amostral divide por n - 1 (correção de Bessel) e é correto quando seus dados são uma amostra usada para estimar a dispersão de uma população maior. Para os mesmos dados, o valor amostral é sempre um pouco maior (ambos são zero se todos os valores forem idênticos); a diferença se dissipa conforme o tamanho da amostra cresce.
Por que dividir por n - 1 em vez de n?
Porque a média amostral é calculada a partir dos mesmos dados, os desvios observados em torno dela são sistematicamente um pouco menores que os desvios em torno da verdadeira média populacional. Dividir por n - 1 em vez de n compensa esse viés, tornando a variância amostral um estimador não viesado da variância populacional. Esse ajuste se chama correção de Bessel.
Como calcular o desvio padrão à mão?
Primeiro encontre a média. Depois subtraia a média de cada valor, eleve cada resultado ao quadrado e some os quadrados. Para uma amostra, divida essa soma por n - 1; para uma população, divida por n. Por fim, extraia a raiz quadrada. Exemplo: para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 a média é 5, os desvios ao quadrado somam 32 e o desvio padrão amostral é √(32 / 7) = 2,138 (arredondado).
O que significa um desvio padrão igual a 0?
Significa que todos os valores do conjunto são idênticos — não há dispersão alguma. Quanto maior o desvio padrão, mais os valores diferem da média em termos típicos. O desvio padrão nunca pode ser negativo.
O que é a regra 68-95-99,7?
Para dados aproximadamente normais (em forma de sino), cerca de 68% dos valores ficam a um desvio padrão da média, cerca de 95% a dois desvios e cerca de 99,7% a três. A regra é um jeito rápido de julgar se uma observação é incomum, mas só é confiável quando a distribuição é aproximadamente normal.
Variância é a mesma coisa que desvio padrão?
Não. A variância é a média dos desvios ao quadrado em relação à média, e o desvio padrão é a sua raiz quadrada. A variância se expressa em unidades ao quadrado (por exemplo, cm^2 para dados medidos em cm), e é por isso que o desvio padrão — na unidade original — costuma ser o valor citado ao descrever dispersão.
Referências
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.