A fórmula do escore Z: padronizando um valor
Um escore Z, também chamado de escore padronizado, converte um valor bruto em uma medida de quão distante esse valor está da média de sua distribuição, expressa em unidades de desvio padrão, e não nas unidades originais. A fórmula é z = (x - média) / desvio padrão, em que x é o valor sendo padronizado. Um escore Z de 0 significa que o valor é exatamente igual à média; um escore Z positivo significa que o valor está acima da média; um escore Z negativo significa que o valor está abaixo da média.
Padronizar valores dessa forma permite comparar medições que vêm de escalas ou distribuições diferentes -- por exemplo, comparar o desempenho de um estudante em duas provas diferentes com médias e dispersões distintas, ou comparar um resultado de exame laboratorial individual com um intervalo de referência. Como o escore Z remove tanto as unidades originais quanto a escala original, um escore Z de +1 sempre significa a mesma coisa em termos relativos (um desvio padrão acima da média da distribuição de origem), independentemente do que está sendo medido.
O que significa 'dois desvios padrão acima da média'?
Dizer que um valor está dois desvios padrão acima da média é simplesmente outra forma de dizer que seu escore Z é +2: o valor está mais distante da média do que uma observação típica, por uma quantidade igual a duas vezes o desvio padrão da distribuição. Como o desvio padrão mede a dispersão típica dos dados, um escore Z de 2 ou mais (ou -2 ou menos) é convencionalmente considerado incomum, já que relativamente poucas observações em uma distribuição aproximadamente normal ficam tão longe do centro.
Essa formulação é puramente descritiva da posição dentro de uma distribuição -- ela não indica, por si só, se estar dois desvios padrão acima da média é bom, ruim ou neutro. Um escore Z de +2 em uma distribuição de notas de prova geralmente indica um resultado forte, enquanto um escore Z de +2 em uma distribuição de pressão arterial geralmente indica uma leitura bem acima do típico e que merece atenção clínica. O escore Z relata a distância em relação à média; interpretar o que essa distância significa sempre depende do que está sendo medido.
A distribuição normal padrão e os percentis
Quando os dados subjacentes são aproximadamente normais (em formato de sino), um escore Z pode ser convertido em um percentil usando a função de distribuição cumulativa normal padrão, que fornece a proporção da distribuição que está abaixo de um determinado escore Z. Essa conversão é o que permite reformular um escore Z como «este valor é maior do que aproximadamente X% da distribuição». A tabela abaixo lista percentis padrão e bem estabelecidos para escores Z inteiros de -2 a +3.
| Escore Z | Percentil (parcela da distribuição abaixo) | Parcela acima |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Exemplo prático: convertendo uma nota bruta em percentil
Considere um valor x = 130 extraído de uma distribuição com média 100 e desvio padrão 15 (a escala clássica usada para escores de QI). Passo 1: calcule o escore Z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Passo 2: consulte z = 2 na distribuição normal padrão, que corresponde ao percentil 97,72, significando que aproximadamente 97,72% da distribuição está em ou abaixo do valor 130, e aproximadamente 2,28% está acima dele.
Um segundo exemplo, usando a mesma escala: um valor x = 85 dá z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, que corresponde ao percentil 15,87 -- ou seja, esse valor fica abaixo de aproximadamente 84,13% da distribuição e acima de aproximadamente 15,87% dela. Em ambos os casos, todo o cálculo se resume a duas etapas: padronizar o valor em um escore Z e, então, consultar o percentil correspondente na distribuição normal padrão.
A regra empírica 68-95-99,7
Para dados aproximadamente normais, a regra empírica (às vezes chamada de regra 68-95-99,7) oferece uma forma rápida de avaliar quão incomum é um escore Z sem consultar uma tabela completa de percentis: cerca de 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média (z entre -1 e +1), cerca de 95% ficam dentro de dois desvios padrão (z entre -2 e +2), e cerca de 99,7% ficam dentro de três desvios padrão (z entre -3 e +3).
Essa regra decorre diretamente da tabela de percentis acima: a parcela entre z = -1 e z = +1 é 84,13% - 15,87% = 68,26%, a parcela entre z = -2 e z = +2 é 97,72% - 2,28% = 95,44%, e a parcela entre z = -3 e z = +3 é 99,87% - 0,13% = 99,74% -- todas consistentes com as aproximações comumente citadas de 68%, 95% e 99,7%. A regra se aplica apenas quando a distribuição subjacente é aproximadamente normal; dados assimétricos ou com caudas pesadas podem se afastar substancialmente dessas proporções, ainda que escores Z possam ser calculados para eles de qualquer forma.
Perguntas frequentes
Como calcular um escore Z?
Subtraia a média do valor e depois divida pelo desvio padrão: z = (x - média) / dp. Por exemplo, um valor de 130 em uma escala com média 100 e desvio padrão 15 dá z = (130 - 100) / 15 = 2, significando que o valor está dois desvios padrão acima da média.
Que percentil corresponde a um escore Z de 2?
Aproximadamente o percentil 97,72. A distribuição normal padrão coloca cerca de 97,72% dos valores em ou abaixo de um escore Z de 2, significando que um valor com esse escore Z é maior do que aproximadamente 97,72% da distribuição e menor do que cerca de 2,28% dela, supondo que os dados subjacentes sejam aproximadamente normais.
O que significa estar dois desvios padrão acima da média?
Significa que o valor tem um escore Z de +2: está mais acima da média do que uma observação típica, por uma quantidade igual a duas vezes o desvio padrão da distribuição. Para dados aproximadamente normais, cerca de 97,72% da distribuição fica em ou abaixo desse valor, tornando-o um resultado relativamente incomum -- embora se isso é desejável dependa inteiramente do que está sendo medido.
Os escores Z exigem que os dados sejam normalmente distribuídos?
O cálculo do escore Z em si, z = (x - média) / dp, é definido para qualquer distribuição e não exige normalidade. No entanto, converter um escore Z em percentil usando a distribuição normal padrão -- como nos exemplos acima -- só é preciso quando os dados subjacentes são aproximadamente normais (em formato de sino); para dados assimétricos ou com caudas pesadas, os percentis devem ser lidos diretamente dos dados.
O que é a regra 68-95-99,7?
É uma forma resumida de expressar quanto de uma distribuição aproximadamente normal cai dentro de um, dois e três desvios padrão da média: cerca de 68% dentro de um desvio padrão (z entre -1 e +1), cerca de 95% dentro de dois (z entre -2 e +2), e cerca de 99,7% dentro de três (z entre -3 e +3). Ela oferece uma forma rápida de avaliar quão incomum é um valor sem fazer uma consulta completa de percentil.
Referências
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).