Entendendo o resultado da sua distribuição normal
A tabela abaixo lista a probabilidade acumulada normal padrão Φ(z) em escores z inteiros, de acordo com as tabelas usuais da distribuição normal padrão.
| Escore z | Φ(z) — probabilidade acumulada abaixo de z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Regra empírica: cerca de 68,27% de uma distribuição normal fica a até ±1 desvio padrão da média, cerca de 95,45% a até ±2 desvios padrão e cerca de 99,73% a até ±3 desvios padrão.
- No modo “entre”, o limite superior b precisa ser maior ou igual a x; a calculadora não devolve resultado se b for menor que x.
- Como a distribuição normal é contínua, a probabilidade de qualquer valor exato isolado é 0 — apenas intervalos (abaixo, acima, entre) têm probabilidade diferente de zero.
- Esses cálculos pressupõem que a variável seja de fato normalmente distribuída. Dados assimétricos, limitados ou de caudas pesadas podem se afastar bastante dessas probabilidades, ainda que o escore z continue sendo calculável.
O que é a distribuição normal?
A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição de probabilidade contínua, simétrica e em forma de sino, descrita por completo por dois parâmetros: a média (μ), que define o centro, e o desvio padrão (σ), que define a dispersão. Muitas grandezas naturais e medidas — alturas, erros de medição, notas de testes padronizados — são aproximadamente normais, e é por isso que a distribuição ocupa lugar central na teoria e na prática estatísticas.
Como uma distribuição contínua atribui probabilidade a intervalos, e não a pontos isolados, esta calculadora responde a perguntas do tipo “que proporção dos valores fica abaixo de x”, “acima de x” ou “entre x e b” — nunca “qual é a probabilidade de exatamente x”, que é sempre 0 numa distribuição contínua.
Toda distribuição normal pode ser convertida na distribuição normal padrão (média 0, desvio padrão 1) calculando-se um escore z, z = (x − μ) / σ. A probabilidade associada a um intervalo de valores de x é então lida na função de distribuição acumulada (FDA) normal padrão, escrita muitas vezes como Φ(z), que dá a proporção da distribuição situada em z ou abaixo dele.
A regra empírica (também chamada de regra 68-95-99,7) resume a dispersão da distribuição normal padrão: cerca de 68,27% dos valores ficam a até 1 desvio padrão da média, cerca de 95,45% a até 2 desvios padrão e cerca de 99,73% a até 3 desvios padrão.
Como usar esta calculadora de distribuição normal
- Informe a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição. O desvio padrão precisa ser maior que zero.
- Escolha um modo de cálculo: abaixo de um valor, acima de um valor ou entre dois valores.
- Informe o valor x. No modo “entre”, informe também o limite superior b, que deve ser maior ou igual a x.
- Leia a probabilidade (em porcentagem e como proporção entre 0 e 1), junto com o escore z correspondente a x.
A fórmula por trás da probabilidade na distribuição normal
Todo cálculo começa padronizando x num escore z: z = (x − μ) / σ. A probabilidade é então lida na FDA normal padrão, Φ(z), que não tem expressão fechada simples e é avaliada numericamente.
Modo abaixo: P(X < x) = Φ(z). Modo acima: P(X > x) = 1 − Φ(z). Modo entre: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), em que zᵦ é o escore z do limite superior b.
Exemplo prático (modo abaixo): média = 100, desvio padrão = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Consultar Φ(1,3333) na distribuição normal padrão dá aproximadamente 0,9088, portanto P(X < 120) ≈ 90,88%.
Exemplo prático (modo entre, normal padrão): média = 0, desvio padrão = 1, entre −1 e +1. O z inferior é −1 e o superior é +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, portanto P(−1 < X < 1) ≈ 68,27% — o primeiro degrau da regra empírica.
Erros comuns
- Selecionar o modo errado — “abaixo”, “acima” e “entre” dão probabilidades diferentes para o mesmo x, e trocá-los é fonte frequente de erro.
- Informar, no modo “entre”, um limite superior b menor que x, o que não constitui intervalo válido para esta calculadora.
- Tratar a probabilidade de um valor exato isolado como algo significativo — numa distribuição contínua como a normal, P(X = x) é sempre 0.
- Supor que um conjunto de dados é normal sem verificar — as probabilidades aqui devolvidas só são precisas quando a variável de base é aproximadamente normal.
- Confundir desvio padrão com variância — esta calculadora pede o desvio padrão (σ), não o seu quadrado.
Perguntas frequentes
Como calculo uma probabilidade na distribuição normal?
Converta o valor em escore z com z = (x − média) / desvio padrão e depois consulte a probabilidade acumulada correspondente na distribuição normal padrão. Para um valor abaixo de x, use Φ(z) diretamente; para acima de x, use 1 − Φ(z); para um intervalo entre x e b, subtraia as duas probabilidades acumuladas.
O que é a regra empírica?
A regra empírica (regra 68-95-99,7) afirma que, numa distribuição normal, cerca de 68,27% dos valores ficam a até 1 desvio padrão da média, cerca de 95,45% a até 2 desvios padrão e cerca de 99,73% a até 3 desvios padrão.
O que é um escore z?
Um escore z exprime a quantos desvios padrão da média um valor se encontra, calculado como z = (x − média) / desvio padrão. É o passo intermediário que esta calculadora usa para consultar uma probabilidade na distribuição normal padrão.
Por que a probabilidade de um valor exato é sempre 0?
A distribuição normal é contínua, portanto a probabilidade só está definida sobre intervalos, e não sobre pontos isolados. Pedir P(X = 120) exatamente dá matematicamente 0; as perguntas com sentido são P(X < 120), P(X > 120) ou P(a < X < b).
Esta calculadora serve para qualquer conjunto de dados?
Só se a variável de base for aproximadamente normal. Muitas variáveis reais são aproximadamente normais, mas dados assimétricos, limitados (como contagens ou proporções) ou de caudas pesadas podem gerar probabilidades enganosas se forçados nesse arcabouço.
Qual é a diferença entre os modos “abaixo” e “entre”?
“Abaixo” informa a probabilidade acumulada até um único valor x, P(X < x). “Entre” informa a probabilidade de cair num intervalo, P(x < X < b), que é a diferença entre duas probabilidades acumuladas e exige tanto o valor inferior x quanto o limite superior b.
Referências
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).