Qual média você deve usar?
Cada média responde a uma pergunta diferente. A tabela abaixo resume quando cada uma é o resumo apropriado.
| Média | Use quando os valores se combinam por | Aplicações típicas |
|---|---|---|
| Aritmética | Adição | Notas de prova, alturas, temperaturas, médias em geral |
| Geométrica | Multiplicação | Taxas de crescimento, retornos de investimento, razões, números-índice |
| Harmônica | Inversos (taxas) | Velocidade média em distâncias iguais, índices preço/lucro, resistências em paralelo |
- As médias geométrica e harmônica só estão definidas para valores inteiramente positivos. Esta calculadora as omite quando a lista contém zero ou números negativos.
- Para qualquer conjunto inteiramente positivo, média aritmética >= média geométrica >= média harmônica, com igualdade apenas quando todos os valores são iguais (desigualdade MA-MG-MH).
- Calcular a média aritmética de taxas percentuais de crescimento superestima o crescimento acumulado; a média geométrica dos fatores de crescimento dá a taxa constante equivalente correta.
O que são as médias aritmética, geométrica e harmônica?
A média aritmética é a soma dos valores dividida pela quantidade deles. É a média apropriada para grandezas que se combinam por adição, como alturas, notas de prova ou temperaturas, e é o que a maioria das pessoas entende por “a média”.
A média geométrica é a raiz n-ésima do produto de n valores positivos. É a média apropriada para grandezas que se combinam por multiplicação, como taxas de crescimento e razões: a média geométrica dos fatores anuais de crescimento dá a taxa constante que produziria o mesmo crescimento total. Ela só está definida para dados inteiramente positivos, já que um zero anula o produto e valores negativos podem tornar a raiz não real.
A média harmônica é a quantidade de valores dividida pela soma dos seus inversos. É a média apropriada para taxas com numerador fixo, sendo o caso clássico a velocidade média ao longo de distâncias iguais. Assim como a geométrica, exige que todos os valores sejam positivos. Para qualquer conjunto inteiramente positivo, as três médias obedecem à desigualdade aritmética >= geométrica >= harmônica, com igualdade apenas quando todos os valores são idênticos.
Como usar esta calculadora de médias
- Informe seus números separados por ;, por exemplo: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Leia a média aritmética, que é sempre exibida.
- Se todos os valores forem positivos, leia também as médias geométrica e harmônica; elas não estão definidas quando a lista contém zero ou números negativos, e nesse caso são omitidas.
- Escolha a média que corresponde ao seu problema: aritmética para grandezas aditivas, geométrica para taxas de crescimento e razões, harmônica para taxas como velocidades ao longo de distâncias iguais.
Fórmulas das três médias
Média aritmética: some os n valores e divida por n. Média geométrica: multiplique os n valores e extraia a raiz n-ésima (na prática, calculada como a exponencial da média dos logaritmos). Média harmônica: divida n pela soma dos inversos.
Exemplo resolvido com os valores 1, 4 e 16. Aritmética: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geométrica: o produto é 1 x 4 x 16 = 64, e a raiz cúbica de 64 é 4. Harmônica: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, aproximadamente 2,285714. Note que 7 >= 4 >= 2,285714, o que ilustra a desigualdade entre as médias aritmética, geométrica e harmônica.
Exemplo de velocidade para a média harmônica: percorrer a mesma distância a 30 km/h e depois a 60 km/h dá uma velocidade média de 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, e não os 45 km/h da média aritmética, porque se passa mais tempo na velocidade menor.
Erros comuns
- Usar a média aritmética para taxas de crescimento: um ano de +50% seguido de um ano de -50% dá média aritmética de 0%, ainda que o investimento acumule queda de 25%; a média geométrica dos fatores 1,5 e 0,5 (cerca de 0,866) reflete a variação média verdadeira.
- Calcular a média de velocidades ao longo de distâncias iguais com a média aritmética — trechos de igual distância pedem a média harmônica.
- Aplicar a média geométrica ou harmônica a dados que contêm zeros ou valores negativos, em que elas não estão definidas.
- Esperar que as três médias coincidam — isso só acontece quando todos os valores da lista são idênticos.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre média aritmética e média geométrica?
A média aritmética soma os valores e divide pela contagem; a média geométrica multiplica os valores e extrai a raiz n-ésima. A aritmética serve a grandezas que se combinam por adição, ao passo que a geométrica serve a grandezas que se combinam por multiplicação, como fatores de crescimento. Para os valores 1, 4 e 16, a média aritmética é 7 e a geométrica é 4.
Quando devo usar a média harmônica?
Use a média harmônica para calcular a média de taxas quando o numerador é fixo — o caso clássico é a velocidade média ao longo de distâncias iguais. Percorrer a mesma distância a 30 km/h e a 60 km/h dá 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, e não 45 km/h, porque se passa mais tempo na velocidade menor. A média harmônica também aparece na média de índices preço/lucro e na combinação de resistências elétricas em paralelo.
Por que esta calculadora às vezes mostra apenas a média aritmética?
As médias geométrica e harmônica só estão definidas quando todos os valores da lista são positivos. Um zero anula a média geométrica e torna a harmônica indefinida (divisão por zero), e valores negativos podem tornar a raiz n-ésima do produto não real. Quando a lista contém zero ou valores negativos, apenas a média aritmética é informada.
Por que a média geométrica é a certa para retornos de investimento?
Retornos de investimento se compõem de forma multiplicativa. Se uma carteira cresce por fatores de 1,5 (alta de 50%) e 0,5 (queda de 50%) em anos sucessivos, o fator total é 1,5 x 0,5 = 0,75. A média geométrica dos fatores, √0,75, aproximadamente 0,866, é o fator anual constante que produz o mesmo resultado — uma perda média de cerca de 13,4% ao ano, que a média aritmética de 0% simplesmente não capta.
A média aritmética é sempre a maior das três?
Para conjuntos de números positivos, sim: a média aritmética é maior ou igual à geométrica, que por sua vez é maior ou igual à harmônica. A igualdade só vale quando todos os valores são idênticos. Esse é o resultado clássico conhecido como desigualdade MA-MG-MH.
Referências
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).