O que é um intervalo de confiança
Um intervalo de confiança é uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro populacional desconhecido -- mais frequentemente uma média ou proporção populacional -- calculada a partir de uma amostra de dados. Ele é construído em torno de uma estimativa pontual, como uma média amostral, e se estende em ambas as direções por uma margem de erro, de modo que o intervalo como um todo é projetado para capturar o verdadeiro valor populacional, desconhecido, uma porcentagem específica das vezes, caso o mesmo procedimento de amostragem e cálculo fosse repetido muitas vezes.
A porcentagem escolhida, chamada de nível de confiança, é mais comumente 90%, 95% ou 99%. Um intervalo mais largo oferece mais confiança de que ele captura o valor verdadeiro, mas ao custo da precisão; um intervalo mais estreito é mais preciso, mas vem com um nível de confiança mais baixo, ou exige uma amostra maior para manter o mesmo nível de confiança. Essa troca entre precisão e confiança é inevitável e é central para interpretar corretamente qualquer intervalo relatado.
O erro de interpretação comum da 'confiança de 95%'
É um erro de interpretação comum e bem documentado ler um intervalo de confiança de 95% como significando que há 95% de probabilidade de o verdadeiro valor populacional estar dentro daquele intervalo específico, já calculado. Essa leitura não é tecnicamente correta: uma vez que um intervalo específico foi calculado a partir de uma amostra específica, o verdadeiro valor populacional ou está dentro dele, ou não está -- não há mais aleatoriedade restante à qual se possa atribuir uma probabilidade para aquele intervalo específico. Os 95% descrevem a taxa de sucesso de longo prazo do método usado para construir o intervalo, ao longo de muitas amostras hipotéticas repetidas, e não uma afirmação de probabilidade sobre um único intervalo já calculado.
Hoekstra e colegas (2014), publicando na Psychonomic Bulletin and Review, documentaram que essa distinção é amplamente mal compreendida, inclusive entre pesquisadores e estudantes de estatística, muitos dos quais interpretaram um intervalo de confiança de 95% como descrevendo diretamente a probabilidade de o verdadeiro valor estar dentro daquele intervalo específico. A interpretação tecnicamente correta diz respeito à confiabilidade do método ao longo de amostragens repetidas, e não a uma afirmação de probabilidade sobre um resultado já observado.
Margem de erro: o elemento fundamental de um intervalo de confiança
A margem de erro é a distância que o intervalo de confiança se estende para cada lado da estimativa pontual, e é calculada como um valor crítico (z, para um intervalo baseado na normal) multiplicado pelo erro padrão da estimativa. Para uma média, o erro padrão é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra: erro padrão = desvio padrão / sqrt(n). Uma amostra maior reduz o erro padrão e, portanto, a margem de erro e a largura geral do intervalo, na proporção da raiz quadrada de n.
O valor crítico z depende do nível de confiança escolhido: 1,6449 para confiança de 90%, 1,96 para confiança de 95%, e 2,5758 para confiança de 99%, cada um representando o ponto na distribuição normal padrão que deixa a probabilidade total correspondente nas duas caudas. Um nível de confiança mais alto exige um valor crítico maior, o que amplia a margem de erro e, portanto, o intervalo resultante, mantendo-se tudo o mais constante.
Exemplo prático: construindo um intervalo de confiança de 95% para uma média
Suponha que uma amostra de n = 100 observações tenha média 50 e desvio padrão 8, e que um intervalo de confiança de 95% para a média populacional seja necessário. Passo 1: calcule o erro padrão, 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Passo 2: calcule a margem de erro usando o valor crítico de 95%, 1,96 x 0,8 = 1,568. Passo 3: some e subtraia a margem de erro da média amostral: 50 - 1,568 = 48,432, e 50 + 1,568 = 51,568.
O intervalo de confiança de 95% resultante é de 48,432 a 51,568. A interpretação correta é que, se esse mesmo procedimento de amostragem e cálculo fosse repetido muitas vezes em novas amostras de 100 elementos da mesma população, aproximadamente 95% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média populacional -- e não que há 95% de probabilidade de a média verdadeira estar especificamente entre 48,432 e 51,568 neste caso específico.
Como o nível de confiança e o tamanho da amostra alteram o intervalo
Mantendo a amostra fixa (média 50, desvio padrão 8, n = 100), a tabela abaixo mostra como os mesmos dados subjacentes produzem larguras de intervalo diferentes dependendo apenas do nível de confiança escolhido. Uma confiança mais alta sempre amplia o intervalo, porque um método mais confiável (que tem sucesso com mais frequência ao longo de amostras repetidas) precisa, por construção, cobrir uma faixa mais ampla de valores plausíveis.
| Nível de confiança | Valor crítico z | Margem de erro | Intervalo resultante |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684 a 51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432 a 51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939 a 52,061 |
Perguntas frequentes
O que um intervalo de confiança de 95% realmente significa?
Significa que, se o mesmo procedimento de amostragem e cálculo fosse repetido muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos resultantes conteriam o verdadeiro valor populacional. Não significa que há 95% de probabilidade de o verdadeiro valor estar dentro deste intervalo específico, já calculado -- uma distinção documentada como um mal-entendido generalizado por Hoekstra e colegas (2014) na Psychonomic Bulletin and Review.
Como calcular um intervalo de confiança de 95% para uma média?
Calcule o erro padrão (desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra), multiplique-o pelo valor crítico de 95%, que é 1,96, para obter a margem de erro, e então some e subtraia essa margem da média amostral. Para uma amostra com média 50, desvio padrão 8 e n = 100: erro padrão = 0,8, margem de erro = 1,568, e o intervalo é de 48,432 a 51,568.
O que é uma margem de erro?
A margem de erro é o valor somado e subtraído de uma estimativa pontual, como uma média amostral, para formar um intervalo de confiança. É calculada como um valor crítico (que depende do nível de confiança escolhido) multiplicado pelo erro padrão da estimativa. Uma margem de erro maior produz um intervalo mais largo e menos preciso; uma margem de erro menor produz um intervalo mais estreito e mais preciso.
Por que é errado dizer que há 95% de probabilidade de o valor verdadeiro estar neste intervalo?
Porque, uma vez que um intervalo específico foi calculado a partir de uma amostra específica, o verdadeiro valor populacional ou está dentro dele, ou não está -- não há mais aleatoriedade restante à qual atribuir uma probabilidade. Os 95% são uma propriedade do método usado para construir o intervalo, descrevendo com que frequência ele tem sucesso ao longo de muitas amostras hipotéticas repetidas, e não uma afirmação de probabilidade sobre um único intervalo já calculado.
Um tamanho de amostra maior torna um intervalo de confiança mais estreito?
Sim. O erro padrão, e portanto a margem de erro e a largura geral do intervalo, é calculado dividindo o desvio padrão pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Como o tamanho da amostra entra sob uma raiz quadrada, quadruplicar o tamanho da amostra reduz a largura do intervalo pela metade, enquanto uma amostra menor produz um intervalo proporcionalmente mais largo e menos preciso para o mesmo nível de confiança.
Por que um nível de confiança mais alto produz um intervalo mais largo?
Um nível de confiança mais alto, como 99% em vez de 95%, exige um valor crítico maior (2,5758 em vez de 1,96), o que aumenta a margem de erro e amplia o intervalo resultante. Isso reflete uma troca inevitável: um método que precisa ter sucesso com mais frequência ao longo de amostras repetidas precisa cobrir uma faixa mais ampla de valores plausíveis para consegui-lo.
Referências
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.