Entendendo mediana, moda e amplitude
Cada estatística descreve um aspecto diferente dos dados. A tabela abaixo resume o que cada uma revela.
| Estatística | O que descreve | Sensibilidade a valores atípicos |
|---|---|---|
| Mediana | O meio dos dados ordenados; 50% dos valores ficam nela ou abaixo | Baixa — depende apenas da ordem dos valores |
| Moda | O valor (ou valores) mais frequente; o pico da distribuição | Baixa — não é afetada por valores extremos |
| Amplitude | Dispersão total, do menor ao maior valor | Alta — determinada inteiramente pelos dois extremos |
- Quando a média é bem maior que a mediana, os dados costumam ser assimétricos à direita (uma cauda de valores altos, como acontece com rendas); uma média abaixo da mediana sugere assimetria à esquerda.
- Um conjunto pode não ter moda (todos os valores distintos), ter uma só ou ter várias; esta calculadora lista todos os valores empatados na maior frequência.
- A mediana de uma amostra estima a mediana da população; como toda estatística amostral, está sujeita à variação amostral.
O que são mediana, moda e amplitude?
A mediana é o valor que divide ao meio um conjunto de dados ordenado. Para encontrá-la, ordene os valores do menor para o maior; com uma quantidade ímpar de valores, a mediana é o único valor central, e com uma quantidade par, é a média aritmética dos dois valores centrais. Como a mediana depende apenas da ordem dos dados, e não da magnitude dos valores extremos, ela é robusta a valores atípicos.
A moda é o valor (ou valores) que ocorre com maior frequência nos dados. Um conjunto pode ter uma moda, várias modas (dados bimodais com dois picos, por exemplo) ou nenhuma moda, quando cada valor ocorre exatamente uma vez. A moda é a única medida de tendência central que também se aplica a dados categóricos.
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. É a medida de dispersão mais simples, mas, por usar apenas as duas observações extremas, é altamente sensível a valores atípicos; o desvio padrão ou a amplitude interquartil descrevem a dispersão de modo mais robusto.
Como usar esta calculadora de mediana
- Informe seus números separados por ;, por exemplo: 7; 12; 3; 9; 21; 14. A calculadora os ordena para você.
- Leia a mediana. Com uma quantidade par de valores, ela é a média dos dois valores centrais da lista ordenada.
- Leia a moda: o valor ou valores mais frequentes. Um traço é exibido quando nenhum valor se repete, ou seja, quando os dados não têm moda.
- Leia a amplitude, o máximo menos o mínimo — uma indicação rápida de quão dispersos estão os dados.
Como mediana, moda e amplitude são calculadas
Mediana: ordene os n valores. Se n for ímpar, a mediana é o valor na posição (n + 1) / 2. Se n for par, a mediana é a média dos valores nas posições n/2 e n/2 + 1.
Exemplo resolvido: os valores 7, 12, 3, 9, 21, 14. Ordenados: 3, 7, 9, 12, 14, 21. São n = 6 valores (quantidade par), portanto a mediana é a média do 3º e do 4º valor: (9 + 12) / 2 = 10,5. Nenhum valor se repete, logo não há moda. A amplitude é 21 - 3 = 18.
Segundo exemplo, agora com moda: 2, 4, 4, 7, 9. Ordenados, o valor do meio (o 3º) é 4, portanto a mediana é 4. O valor 4 ocorre duas vezes, enquanto todos os demais ocorrem uma só vez, logo a moda é 4. A amplitude é 9 - 2 = 7.
Erros comuns
- Esquecer de ordenar os dados antes de localizar o valor central — a mediana é definida sobre a lista ordenada.
- Pegar um dos dois valores centrais em vez da média deles quando a quantidade é par: para 3, 7, 9, 12, 14, 21 a mediana é 10,5, e não 9 ou 12.
- Supor que todo conjunto de dados tem moda — quando nenhum valor se repete, a moda não existe.
- Usar a amplitude como medida robusta de dispersão; ela depende apenas dos dois valores mais extremos e ignora tudo o que está entre eles.
Perguntas frequentes
Como encontrar a mediana de um conjunto de dados?
Ordene os valores do menor para o maior. Se a quantidade for ímpar, a mediana é o valor central. Se for par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Por exemplo, para 7, 12, 3, 9, 21, 14 a lista ordenada é 3, 7, 9, 12, 14, 21 e a mediana é (9 + 12) / 2 = 10,5.
Quando a mediana é melhor que a média?
Quando os dados são assimétricos ou contêm valores atípicos. A mediana depende apenas da ordenação dos valores, portanto uma única observação extrema quase não a desloca, ao passo que a média pode se deslocar bastante. Rendas e preços de imóveis costumam ser resumidos pela mediana justamente por isso.
Um conjunto de dados pode ter mais de uma moda?
Sim. Se dois ou mais valores empatam na maior frequência, o conjunto é multimodal e todos os valores empatados são modas. Por exemplo, em 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9 tanto o 2 quanto o 7 ocorrem duas vezes, portanto os dados são bimodais, com modas 2 e 7. Se nenhum valor se repete, o conjunto não tem moda.
O que a amplitude me diz?
A amplitude é o máximo menos o mínimo — a extensão total dos dados. É rápida de calcular e fácil de interpretar, mas usa apenas os dois valores mais extremos, de modo que um único valor atípico pode inflá-la enormemente. Para um retrato mais completo da dispersão, use o desvio padrão ou a amplitude interquartil.
A mediana é sempre um valor observado nos dados?
Nem sempre. Com uma quantidade ímpar de valores, a mediana é um dos valores observados. Com uma quantidade par, ela é a média dos dois valores centrais, que pode não aparecer nos dados — a mediana 10,5 da lista 3, 7, 9, 12, 14, 21, por exemplo, não é nenhuma das seis observações.
Referências
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.