Entendendo seu escore Z
A tabela abaixo mostra escores Z selecionados e seus percentis na distribuição normal padrão.
| Escore Z | Percentil (parcela abaixo) | Interpretação |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | Dois desvios padrão abaixo da média; incomumente baixo |
| -1 | 15,87% | Um desvio padrão abaixo da média |
| 0 | 50% | Exatamente na média (e na mediana, numa distribuição normal) |
| +1 | 84,13% | Um desvio padrão acima da média |
| +2 | 97,72% | Dois desvios padrão acima da média; incomumente alto |
| +3 | 99,87% | Três desvios padrão acima da média; raro sob normalidade |
- Os percentis supõem que a distribuição subjacente é aproximadamente normal. Para dados assimétricos ou de caudas pesadas, a conversão de z em percentil não é confiável, ainda que o próprio escore Z esteja bem definido.
- Pela regra empírica, cerca de 68% de uma distribuição normal fica entre z = -1 e +1, cerca de 95% entre -2 e +2 e cerca de 99,7% entre -3 e +3.
- Um escore Z não diz se um valor é bom ou ruim — apenas o quão longe ele está da média da sua própria distribuição.
O que é um escore Z?
Um escore Z padroniza um valor ao expressar sua distância até a média em unidades de desvio padrão. Um escore Z de 0 significa que o valor é igual à média; +1 significa um desvio padrão acima da média; -2 significa dois desvios padrão abaixo. Padronizar coloca medições de escalas diferentes em pé de igualdade, e é por isso que escores Z são usados para comparar resultados de provas, medidas de crescimento e valores laboratoriais entre distribuições distintas.
Quando a distribuição subjacente é normal (em forma de sino), o escore Z se converte diretamente em percentil pela função de distribuição acumulada (FDA) normal padrão. A FDA dá a proporção da distribuição que fica abaixo de um dado z — cerca de 84,13% de uma distribuição normal fica abaixo de z = 1, e cerca de 97,72% abaixo de z = 2. Esta calculadora avalia a FDA normal padrão com a aproximação de Abramowitz e Stegun (fórmula 7.1.26), precisa até cerca de 7,5 x 10^-8.
A interpretação em percentil depende da normalidade. Escores Z podem ser calculados para quaisquer dados, mas convertê-los em percentis pela FDA normal só é preciso quando a distribuição é aproximadamente normal; para dados assimétricos ou de caudas pesadas, os percentis informados podem ser enganosos.
Como usar esta calculadora de escore Z
- Informe o valor (x) que você quer padronizar — por exemplo, a nota de uma prova.
- Informe a média da distribuição de onde o valor veio.
- Informe o desvio padrão dessa distribuição, que precisa ser maior que zero.
- Leia o escore Z, o percentil (a parcela da distribuição abaixo do valor, supondo normalidade) e a parcela acima.
A fórmula do escore Z
O escore Z é o valor menos a média, dividido pelo desvio padrão: z = (x - média) / desvio padrão. Um z positivo indica que o valor está acima da média; um z negativo, abaixo dela.
Exemplo resolvido: x = 130, média = 100 e desvio padrão = 15 (a clássica escala de QI). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. O valor está exatamente dois desvios padrão acima da média. Pela FDA normal padrão, a proporção abaixo de z = 2 é 0,9772, portanto o valor está no percentil 97,72 e cerca de 2,28% da distribuição fica acima dele.
Os percentis vêm da função de distribuição acumulada normal padrão: percentil = FDA(z) x 100, e parcela acima = (1 - FDA(z)) x 100. A FDA não tem expressão em forma fechada; esta calculadora usa a aproximação 7.1.26 de Abramowitz e Stegun (1964).
Erros comuns
- Converter escores Z em percentis para dados claramente não normais — o mapeamento pela FDA normal pressupõe uma distribuição em forma de sino.
- Trocar a direção: um escore Z negativo significa que o valor está abaixo da média, e não que houve erro ou resultado impossível.
- Dividir pela variância em vez do desvio padrão — o denominador da fórmula do z é o desvio padrão.
- Usar a média e o desvio padrão populacionais de um grupo para padronizar um valor de outro grupo, o que produz uma comparação sem sentido.
- Confundir percentil com nota percentual: estar no percentil 97,7 significa superar cerca de 97,7% da distribuição, e não tirar 97,7 na prova.
Perguntas frequentes
Como calcular um escore Z?
Subtraia a média do valor e divida pelo desvio padrão: z = (x - média) / desvio padrão. Por exemplo, uma nota de 130 numa escala com média 100 e desvio padrão 15 dá z = (130 - 100) / 15 = 2, ou seja, a nota está dois desvios padrão acima da média.
Que percentil corresponde a um escore Z de 2?
Aproximadamente o percentil 97,72. A função de distribuição acumulada normal padrão avaliada em z = 2 vale 0,9772, o que significa que 97,72% de uma distribuição normal fica abaixo desse valor e 2,28% fica acima.
O que é um bom escore Z?
Escores Z são medições neutras, não notas — se um dado z é desejável depende inteiramente do contexto. Um z de +2 é excelente para uma nota de prova, mas alarmante para pressão arterial. Valores além de cerca de -2 ou +2 são convencionalmente considerados incomuns, já que menos de 5% de uma distribuição normal fica fora dessa faixa.
Um escore Z pode ser negativo?
Sim. Um escore Z negativo simplesmente indica que o valor está abaixo da média. Por exemplo, z = -1,5 corresponde a um valor um desvio padrão e meio abaixo da média, por volta do percentil 6,68 de uma distribuição normal.
Escores Z exigem uma distribuição normal?
O escore Z em si — a distância até a média em unidades de desvio padrão — está definido para qualquer distribuição. No entanto, converter um escore Z em percentil pela FDA normal padrão, como esta calculadora faz, só é preciso quando a distribuição é aproximadamente normal. Para dados assimétricos, os percentis devem ser calculados diretamente a partir dos dados.
Qual é a precisão do percentil exibido?
A FDA normal padrão não tem expressão exata em forma fechada, portanto esta calculadora usa a aproximação racional 7.1.26 de Abramowitz e Stegun (1964), cujo erro absoluto fica abaixo de 7,5 x 10^-8 — muito mais preciso que as duas casas decimais exibidas.
Referências
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).