行列式の見方
行列式の値は、幾何学的にも代数的にも直接の意味を持ちます。
| 行列式 | 意味 |
|---|---|
| det ≠ 0 | 行列は可逆。連立一次方程式Ax = bは一意な解を持つ |
| det = 0 | 行列は特異。逆行列は存在しない。行（または列）は線形従属 |
| |det| > 1 | この変換は面積（2×2）や体積（3×3）を|det|倍に拡大する |
| |det| < 1 | この変換は面積や体積を縮小する |
| det < 0 | この変換は向きを反転させる（反転を含む） |
- 逆行列は、行列式が0でない2×2行列についてのみ表示されます。特異行列（行列式0）には逆行列がなく、3×3モードでは行列式とトレースのみが表示されます。
- 要素は行優先の順序で入力する必要があり、その個数は選んだサイズと正確に一致していなければなりません。2×2なら4個、3×3なら9個です。
- トレースは固有値の和に等しく、行列式はその積に等しくなります。これらは線形代数における2つの標準的な恒等式です。
- 行列の掛け算は一般には交換可能ではありませんが、可逆な行列Aについては常にA × A⁻¹ = A⁻¹ × A = Iが成り立ちます。
行列式、トレース、逆行列とは？
行列とは数を長方形に並べたものであり、正方行列とは行数と列数が等しいものを指します。行列式は、正方行列から計算される単一の数値で、その行列が可逆かどうか、そして空間をどのように拡大縮小するかを表します。行列式dを持つ線形変換は、面積（2×2の場合）や体積（3×3の場合）を|d|倍します。行列式が負であれば、反転（向きの反転）が含まれることを示します。
行列が可逆（非特異）であるのは、行列式が0でない場合に限られます。逆行列A⁻¹は、Aを打ち消す行列です。AにA⁻¹を掛けると単位行列になります。行列式が0のとき、その行列は特異行列となり、空間を直線や平面に押しつぶしてしまうため、逆行列は存在しません。行列式はまた、連立一次方程式Ax = bが一意な解を持つかどうかも決定します。
トレースとは、主対角線（左上から右下）上の要素の和です。これは行列の固有値の和に等しく、線形代数や物理学の随所に現れます。2×2行列の場合、特性多項式はトレースと行列式だけで完全に決まります：λ² − トレース × λ + det = 0。
この行列計算機の使い方
- 行列のサイズを選びます。2 × 2（ちょうど4個の要素が必要）または3 × 3（ちょうど9個の要素が必要）です。
- 要素を行優先の順序で入力します。1行目を左から右へ、次に2行目、というように続けます。行(4, 7)と(2, 6)からなる行列の場合は、4; 7; 2; 6と入力します。
- 行列式とトレースを確認します。
- 行列式が0でない2 × 2行列については、逆行列を確認します。[a, b; c, d]の形で行ごとに表示されます。特異行列（行列式0）には逆行列がなく、3 × 3モードでは行列式とトレースのみが表示されます。
行列式、トレース、逆行列の公式
2×2の行列式：行(a, b)と(c, d)からなる行列に対して、det = ad − bc。計算例（行(4, 7)と(2, 6)）：det = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10。トレースはa + d = 4 + 6 = 10です。
2×2の逆行列：detが0でないとき、A⁻¹ = (1/det) × [d, −b; −c, a]です。対角要素を入れ替え、非対角要素の符号を反転させ、すべてを行列式で割ります。この例では：(1/10) × [6, −7; −2, 4] = [0.6, −0.7; −0.2, 0.4]です。確認：元の行列にこの逆行列を掛けると単位行列になります。
3×3の行列式（1行目に沿った余因子展開）：行(a, b, c)、(d, e, f)、(g, h, i)に対して、det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)。計算例（行(1, 2, 3)、(4, 5, 6)、(7, 8, 10)）：det = 1 × (5 × 10 − 6 × 8) − 2 × (4 × 10 − 6 × 7) + 3 × (4 × 8 − 5 × 7) = 1 × 2 − 2 × (−2) + 3 × (−3) = 2 + 4 − 9 = −3。トレースは1 + 5 + 10 = 16です。
よくある間違い
- 値を列優先の順序で入力してしまうこと。この計算機は要素を行ごとに読み取るため、[4, 7, 2, 6]は行(4, 7)と(2, 6)を意味します。
- 2×2の行列式をad + bcとして計算してしまうこと。正しくはad − bcです。
- 3×3の余因子展開で符号の交替を忘れてしまうこと。中央の項は引き算です：det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)。
- 行列式が0の行列を逆行列にしようとすること。特異行列には逆行列が存在しません。
- 2×2の逆行列のショートカットで、入れ替える組を間違えること。対角要素aとdは入れ替えますが、bとcは位置はそのままで符号だけが変わります。
よくある質問
2×2行列の行列式はどうやって計算しますか？
行(a, b)と(c, d)からなる行列の場合、行列式はad − bcです。主対角線どうしを掛け、非対角どうしを掛け、その差を取ります。行(4, 7)と(2, 6)の場合、det = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10です。
2×2行列の逆行列はどうやって求めますか？
行列式ad − bcが0でなければ、対角要素を入れ替え、非対角要素の符号を反転させ、すべての要素を行列式で割ります：A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [d, −b; −c, a]。行(4, 7)と(2, 6)、行列式10の場合、逆行列は[0.6, −0.7; −0.2, 0.4]です。行列式が0の場合、逆行列は存在しません。
行列式が0であるとはどういう意味ですか？
行列式が0であるとは、その行列が特異であることを意味します。行（および列）は線形従属であり、その行列が表す変換は空間をより低い次元に押しつぶし、逆行列は存在しません。係数行列が特異である連立一次方程式は、解を持たないか、無限に多くの解を持つかのいずれかであり、一意な解を持つことは決してありません。
行列のトレースとは何ですか？
トレースとは、左上から右下にかけての主対角線上の要素の和です。行(4, 7)と(2, 6)の場合、トレースは4 + 6 = 10です。トレースは行列の固有値の和に等しく、そのため線形代数、幾何学、物理学の随所で使われる素早い不変量となっています。
3×3の行列式はどうやって計算しますか？
1行目に沿った余因子展開によって計算します：行(a, b, c)、(d, e, f)、(g, h, i)に対して、det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)です。1行目の各要素に、その行と列を取り除いた後に残る2×2行列の行列式を掛け、符号を+、−、+と交互に変えます。行(1, 2, 3)、(4, 5, 6)、(7, 8, 10)の場合、これは2 + 4 − 9 = −3となります。
なぜこの計算機は3×3の逆行列を表示しないのですか？
3×3行列の逆行列を求めるには、完全な余因子行列を転置した随伴行列を行列式で割る必要があり、9個の余因子計算が必要になります。これはこのツールの範囲を超えています。この計算機は、3×3行列については行列式とトレースを、非特異な2×2行列については完全な逆行列を表示します。
参考文献
- Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
- Weisstein, Eric W. 「Determinant」および「Matrix Inverse.」 MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).