数列のプレビューを理解する
公差の符号によって、数列が増加するか、減少するか、一定のままかが決まります。以下は初項が3の場合の例です。
| 公差（d） | 挙動 | 最初の5項（a₁ = 3） |
|---|---|---|
| d > 0（例：d = 4） | 増加する数列 | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | 一定の数列——すべての項がa₁に等しい | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0（例：d = −4） | 減少する数列 | 3, −1, −5, −9, −13 |
- 数列のプレビューは最初の8項までを表示します。nが8より大きい場合は省略記号（…）で数列がその先も続くことを示しますが、第n項と和は入力したnについて正確に計算されます。
- 等比数列と異なり、等差数列にはnが大きくなるにつれて項がどこまで大きく（または小さく）なり得るかという上限（または下限）がありません（d = 0の場合を除く）。有限の「無限級数の和」も存在せず、部分和Sₙはnが大きくなるにつれて際限なく大きくなります（d ≠ 0の場合）。
等差数列とは
等差数列（算術数列）とは、各項とその直前の項との差が常に一定——これを公差（d）と呼びます——である数の並びです。例えば3, 7, 11, 15, 19は初項3、公差4の等差数列です。各項が直前の項より4だけ大きいためです。
公差は正（増加する数列）にも、負（減少する数列）にも、0（すべての項が初項に等しい定数の数列）にもなり得ます。等差数列は、各ステップで同じ一定量だけ変化する過程をモデル化します。例えば、毎回同額を積み立てる貯蓄計画、座席の列ごとに一定数ずつ席が増える配置、一定間隔で減っていくカウントダウンタイマーなどです。
等差数列についてよく問われる量は2つあります。特定の項の値（第n項）と、連続する複数の項の和（部分和、等差級数と呼ばれることもあります）です。この計算機は、同じ3つの入力からこの両方を計算します。
等差数列計算機の使い方
- 数列の初項（a₁）——出発点となる値を入力します。
- 公差（d）——各項から次の項を得るために加える一定量を入力します。減少する数列にはマイナスの数値を使います。
- 第n項と和を求めたい項数（n）を入力します。
- 第n項、初項からn項までの和、そして数列の最初の8項までを示すプレビューを確認します。
等差数列の公式
等差数列の第n項は、初項から出発して公差を(n − 1)回加えることで求まります。初項そのものは0回の加算で済むためです：aₙ = a₁ + (n − 1)d。計算例（a₁ = 3、d = 4、n = 10）：a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39。
初項からn項までの和は、最初の項と最後の項、2番目の項と最後から2番目の項……というようにペアを作ると、常に同じペア和（a₁ + aₙ）になるという性質を利用します。これにより閉じた形の和の公式Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)、同値な形としてSₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)が得られます。計算例：S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210。
この和の公式は、数学の逸話として、少年時代のカール・フリードリヒ・ガウスが1から100までの整数の和を、1+100、2+99……とペアにして求めたという話に由来するとされています。101になるペアが50組できるため合計は5050となり、ここで使われている一般公式も同じペア分けの発想に基づいています。
よくある間違い
- 第n項の公式で(n − 1)の代わりにnを使ってしまうこと——初項（n = 1）はdを0回加えるだけで、1回加えるのではありません。aₙ = a₁ + (n − 1)dだからです。
- 公差を公比と混同すること——等差数列は毎回一定量を加えますが、等比数列は代わりに一定の倍率を掛けます。
- 和の公式を使うのに全項を書き出す必要があると思い込むこと——閉じた形の公式Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d)を使えば、各項を個別に足し合わせなくても和を直接計算できます。
- 項数に整数以外の値を入力すること——nは項の位置（1番目、2番目、3番目……）を表す正の整数でなければならず、小数値ではいけません。
よくある質問
等差数列の第n項はどうやって求めますか？
公式aₙ = a₁ + (n − 1)dを使います。a₁は初項、dは公差、nは求めたい項の番号です。a₁ = 3、d = 4、n = 10の場合：a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39です。
等差数列の和はどうやって求めますか？
公式Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)を使います。これにより各項を個別に足すことなく、最初のn項の和を求められます。a₁ = 3、d = 4、n = 10の場合：S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210です。
等差数列と等比数列の違いは何ですか？
等差数列は連続する項の差が一定です（各項＝前の項＋d）。等比数列は連続する項の比が一定です（各項＝前の項×r）。等差数列は線形に増加し、等比数列は比の絶対値が1でない限り指数関数的に増加（または減少）します。
公差はマイナスやゼロでもよいのですか？
はい。公差がマイナスであれば減少する数列になります（例：d = −3で10, 7, 4, 1, −2）。公差が0であれば、すべての項が初項に等しい一定の数列になります。どちらも有効な等差数列です。
2つの項から公差を求めるにはどうすればよいですか？
ある項から、その直後の項を引きます：d = aₙ₊₁ − aₙ。連続していない2つの項aₘ、aₙしかわからない場合は、d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m)を使います。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.