符号反転のルールを理解する
係数aの符号によって、xを単独にする際に不等号がそのままか反転するかが決まります。以下にまとめます。
| aの符号 | 不等号への影響 | 例 |
|---|---|---|
| a > 0（正） | 不等号は変わらない | 2x < 8 → x < 4 |
| a < 0（負） | 不等号が反転する（<は>に、≤は≥になる、など） | −2x < 8 → x > −4 |
| a = 0 | 定数同士の真偽の判定だけに帰着する | 0x + 3 < 11 → 常に真（すべての実数） |
- a = 0のとき、結果は「すべての実数（常に真）」または「解なし（常に偽）」のいずれかになります。不等式がxにまったく依存しなくなるためです。
- 表示される境界値は、1次式ax + bがちょうどcに等しくなる点です。その境界自体が解に含まれるかどうかは、不等式が厳密（<、>）か、それとも境界を含む（≤、≥）かによって決まります。
- この計算機が解くのは1変数の1次不等式のみです。複合不等式（例：3 < 2x + 1 < 9）や、x²以上の次数を含む不等式には別の解法が必要です。
1次不等式とは
1次不等式とは、1次式（変数が1乗のみで、係数と定数を持つもの）を、より小さい（<）、以下（≤）、より大きい（>）、以上（≥）のいずれかの不等号を使って別の値と比較する数学的な文です。通常1つの解しか持たない1次方程式と異なり、1次不等式は通常無限に多くの解——その文を真にするxのすべての値——を持ちます。
この計算機はax + b [演算子] cの形の不等式を解きます。aはxの係数、bは左辺に加わる定数、cは右辺で比較される値です。解くとは、xを一方の辺に単独で残すことを意味し、例えばx < 4のような結果が得られます。これは4未満のすべての値が元の不等式を満たすということです。
不等式を解くことが方程式を解くことと最も大きく異なる点は、次の1つのルールです。不等式の両辺に負の数を掛けたり両辺を負の数で割ったりすると、不等号の向きが反転します。この計算機は、係数aの符号に基づいてこのルールを自動的に適用します。
不等式計算機の使い方
- xの係数（a）——不等式の左辺でxに掛かっている数を入力します。
- 定数（b）——左辺でaxに加わる数を入力します。定数項がない場合は0を入力します。
- 不等号（<、≤、>、≥）を選びます。
- 右辺の値（c）を入力します。解はx [不等号] 境界値の形で表示され、aが負の場合は不等号が自動的に反転します。
1次不等式を解く方法
ax + b [演算子] cをxについて解くには、方程式を解くのと同じ代数的な手順を踏みます。両辺からbを引き、次に両辺をaで割ります。計算例：2x + 3 < 11を解きます。両辺から3を引くと2x < 8。両辺を2（正の数なので不等号の向きは変わりません）で割るとx < 4です。
係数aが負のとき、両辺をaで割ると不等号が反転します。計算例：−2x + 3 < 11を解きます。3を引くと−2x < 8。両辺を−2で割り、不等号を反転させるとx > −4です（x < −4ではありません）。この符号反転のルールは、手計算で不等式を解く際に最もよくある誤りの原因です。
a = 0のときは特殊なケースになります。不等式は3 < 11のような定数同士の比較に帰着し、これは常に真（この場合、解は「すべての実数」）であるか、常に偽（この場合、「解なし」）のいずれかで、xの値には無関係です。
よくある間違い
- 両辺に負の数を掛けたり、負の数で割ったりするときに不等号を反転させ忘れること——これは不等式を解く際に最もよくある誤りです。
- ≤と<（あるいは≥と>）を同じものとして扱ってしまうこと——境界値そのものが解集合に含まれるかどうかに、この違いが関わってきます。
- 係数の符号を確認せずに方程式を解く感覚のまま適用してしまうこと——係数が負の不等式は、正の場合と同じようには解けません。
- 不等式には常に数値の境界があると思い込むこと——xの係数が0のときは、境界値のない「常に真」または「常に偽」という結果に帰着します。
よくある質問
1次不等式はどうやって解きますか？
方程式を解くのと同じ手順——定数を移項するために足し算・引き算を行い、係数を取り除くために掛け算・割り算を行う——で変数を単独にしますが、両辺に負の数を掛けたり両辺を負の数で割ったりするときは必ず不等号を反転させます。2x + 3 < 11の場合：3を引いて2x < 8とし、2で割ってx < 4を得ます。
なぜ負の数を掛けると不等号が反転するのですか？
負の数で掛けたり割ったりすると、数直線上の値の順序が反転するためです。例えば2 < 5ですが、両辺に−1を掛けると−2と−5になり、実は−2の方が−5より大きくなります。文を真に保つには、不等号を反転させて−2 > −5とする必要があります。
不等式における「解なし」とはどういう意味ですか？
「解なし」は、xの係数が0で、結果として得られる定数同士の比較が偽であるときに起こります。例えば0x + 3 > 11は3 > 11に簡約され、これはxの値にかかわらず決して真になりません。この場合、元の不等式を満たすxの値は存在しません。
<と≤の違いは何ですか？
<（厳密により小さい）は境界値そのものを解から除外しますが、≤（以下）は境界値を含みます。x < 4では4は解になりませんが、x ≤ 4では4は解になります。この違いは数直線上で、境界に白丸（<、>）を使うか、黒く塗りつぶした丸（≤、≥）を使うかで視覚的に表されます。
不等式の解はどうやって検算しますか？
解の範囲の中からテストする値を選び、元の不等式に代入して成り立つことを確かめます。さらに、範囲外の値でも成り立たないことを確認すると確実です。2x + 3 < 11の解x < 4について、x = 0でテストすると2(0) + 3 = 3 < 11 ✓、範囲外のx = 5でテストすると2(5) + 3 = 13となり13 < 11ではないため、境界が正しいことが確認できます。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Inequalities. dlmf.nist.gov.
- Sullivan M. Algebra and Trigonometry. 11th ed. Pearson, 2019. (Linear inequalities in one variable.)
- Lial ML, Hornsby J, Schneider DI, Daniels CJ. College Algebra. 13th ed. Pearson, 2017.