収束と発散を理解する
項を足していくにつれて等比級数が有限の和に収束するかどうかは、もっぱら公比の絶対値によって決まります。以下にまとめます。
| 公比の絶対値 |r| | 項の挙動 | 無限級数の和 |
|---|---|---|
| |r| < 1（例：r = 0.5） | 項が0に向かって縮んでいく | 収束：S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | 項の大きさが一定のまま（r = −1なら符号が交互に入れ替わる） | 発散（a₁ = 0という自明な場合を除き、有限の和なし） |
| |r| > 1（例：r = 3） | 項の大きさが際限なく増えていく | 発散（有限の和なし） |
- 数列のプレビューは最初の8項までを表示します。nが8より大きい場合は省略記号（…）でさらに項が続くことを示しますが、第n項と有限の和は入力したnについて正確に計算されます。
- 無限級数の和の結果は|r| < 1のときのみ表示されます。それ以外の公比では級数に有限の和が存在しないため、誤解を招く数値を示す代わりにその旨を表示します。
- 公比がちょうど0の場合は標準的な等比数列ではありません（最初の項以降がすべて0になってしまいます）。また公比が負の場合、各項の符号が交互に入れ替わる数列になります。
等比数列とは
等比数列（幾何数列）とは、最初の項以降、各項が直前の項に一定の値——これを公比（r）と呼びます——を掛けることで得られる数の並びです。例えば2, 6, 18, 54, 162は初項2、公比3の等比数列です。各項が直前の項の3倍になっているためです。
|r| > 1のとき、項の大きさは際限なく増えていきます（指数関数的増加）。0 < |r| < 1のとき、項は0に向かって縮んでいきます（指数関数的減衰）。r = 1のとき、すべての項が初項に等しくなります。rが負のとき、項の符号は交互に入れ替わります。等比数列は、複利、人口の倍増、放射性崩壊など、量が同じ倍率で繰り返し変化する過程をモデル化します。
等比級数とは、等比数列の各項を足し合わせたものです。等差級数と異なり、公比の絶対値が厳密に1未満であれば、等比級数は無限個の項まで拡張しても有限の和を持つことができます。これは等差数列には見られない性質です。
等比数列計算機の使い方
- 数列の初項（a₁）——出発点となる値を入力します。
- 公比（r）——次の項を得るために各項に掛ける一定の倍率を入力します。収束する無限級数の和を見たい場合は、−1から1の間（0を除く）の値を使います。
- 第n項と部分和を求めたい項数（n）を入力します。
- 第n項、初項からn項までの和、無限級数の和（|r| < 1のときのみ表示）、そして最初の8項までのプレビューを確認します。
等比数列の公式
第n項は、初項に公比の(n − 1)乗を掛けることで求まります：aₙ = a₁ × r^(n−1)。計算例（a₁ = 2、r = 3、n = 5）：a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。
初項からn項までの和は、r ≠ 1のとき閉じた形の公式Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)を使います。これは級数を定数倍したものを元の級数から引き、最初と最後の項以外をすべて打ち消すことで導かれます。r = 1のときはすべての項がa₁に等しいため、和は単純にSₙ = a₁ × nです。計算例：S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242。
|r| < 1のとき、rⁿの項はnが際限なく大きくなるにつれて0に向かって縮んでいくため、部分和の公式は有限の極限値に収束します：S∞ = a₁ ÷ (1 − r)。例えば、a₁ = 8、r = 0.5の場合、S∞ = 8 ÷ (1 − 0.5) = 16となり、8, 4, 2, 1, 0.5, ……の無限和は16に近づきますが決して超えません。|r| ≥ 1のとき、無限級数の和は発散し（有限の値を持たず）、この計算機は値を表示しません。
よくある間違い
- 指数として(n − 1)ではなくnを使ってしまうこと——最初の項（n = 1）はa₁ × r⁰ = a₁であり、a₁ × r¹ではないため、指数は常に(n − 1)です。
- |r| ≥ 1のときに無限級数の和の公式を使ってしまうこと——その場合、級数は発散し有限の和を持ちません。公式a₁ ÷ (1 − r)が使えるのは|r| < 1のときだけです。
- 公比を公差と混同すること——等比数列は各ステップでrを掛け、等差数列は各ステップでdを加えます。
- 公比が負のとき、数列の符号が交互に入れ替わることを忘れること（例：a₁ = 2、r = −3なら2, −6, 18, −54）。これを誤りだと勘違いする学習者もいますが、想定どおりの挙動です。
よくある質問
等比数列の第n項はどうやって求めますか？
公式aₙ = a₁ × r^(n−1)を使います。a₁は初項、rは公比、nは項の番号です。a₁ = 2、r = 3、n = 5の場合：a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162です。
等比級数の和はどうやって求めますか？
有限個の項の場合、r ≠ 1であればSₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)を使います。a₁ = 2、r = 3、n = 5の場合：S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242です。|r| < 1の無限等比級数の場合は、代わりにS∞ = a₁ ÷ (1 − r)を使います。
無限等比級数が和を持つのはどんなときですか？
無限等比級数が有限の和に収束するのは、公比の絶対値が厳密に1未満（|r| < 1）のときだけです。その場合、S∞ = a₁ ÷ (1 − r)です。|r| ≥ 1の場合、項は0に向かって縮んでいかないため和は際限なく大きくなり、級数は発散します。
等比数列と等差数列の違いは何ですか？
等比数列は一定の比（r）を掛けて次の項を得るため、指数関数的な増加または減衰が生じます。等差数列は一定の差（d）を加えて次の項を得るため、線形の増加または減衰が生じます。公比が1（一定の数列）でない限り、一般に両方の性質を同時に持つことはできません。
公比はマイナスでもよいのですか？
はい。公比がマイナスであれば、符号が各項で入れ替わる交代数列になります。例えばa₁ = 2、r = −3の場合、2, −6, 18, −54, 162と正負が交互に入れ替わりますが、これでもaₙ = a₁ × r^(n−1)には従っています。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)