Signes par quadrant et angles usuels
Sinus, cosinus et tangente suivent chacun un schéma de signes fixe dans les quatre quadrants, et prennent des valeurs exactes aux angles de référence usuels.
| Quadrant | Plage d'angles | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° à 90° | positif | positif | positive |
| II | 90° à 180° | positif | négatif | négative |
| III | 180° à 270° | négatif | négatif | positive |
| IV | 270° à 360° | négatif | positif | négative |
- L'angle de référence est toujours l'angle aigu, de 0° à 90°, formé entre le côté terminal et l'axe des abscisses ; combiné au schéma de signes du quadrant, il permet de retrouver les valeurs exactes de tout angle à partir des valeurs standard à 0°, 30°, 45°, 60° et 90°.
- La tangente n'est pas définie à 90° ni à 270°, ni à leurs équivalents coterminaux, le cosinus s'y annulant.
- Les angles supérieurs à 360° et les angles négatifs sont d'abord ramenés à un angle coterminal compris dans [0°, 360°) avant que le quadrant et l'angle de référence soient déterminés.
Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un plan de coordonnées. Pour tout angle θ mesuré dans le sens direct depuis l'axe des abscisses positif, le point où le côté terminal de l'angle coupe le cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ) : voilà pourquoi ce cercle constitue le socle visuel et calculatoire de toute la trigonométrie.
Le rayon valant exactement 1, sinus et cosinus se lisent directement comme des coordonnées, sans aucune mise à l'échelle. Ce calculateur indique en outre l'angle coterminal, c'est-à-dire l'angle équivalent compris entre 0° et 360°, le quadrant dans lequel tombe le côté terminal et l'angle de référence, l'angle aigu formé avec l'axe des abscisses le plus proche : ensemble, ces trois éléments expliquent le signe et la valeur des fonctions trigonométriques.
Comment utiliser ce calculateur de cercle trigonométrique
- Saisissez la valeur de l'angle.
- Choisissez l'unité d'angle : degrés ou radians.
- Lisez le sinus, le cosinus et la tangente de cet angle, ainsi que son quadrant, son angle de référence et son angle coterminal, l'angle équivalent situé dans un tour complet de 0° à 360°.
Les formules du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique ayant pour rayon 1, les coordonnées (x, y) d'un point coïncident exactement avec (cos θ, sin θ) : aucune mise à l'échelle par le rayon n'est nécessaire, contrairement à un cercle quelconque.
Erreurs fréquentes
- Laisser l'unité sur radians en saisissant une valeur en degrés, ou l'inverse, ce qui produit un résultat vraisemblable mais faux.
- Croire que l'angle de référence coïncide avec l'angle saisi hors du quadrant I : il se mesure toujours depuis l'axe des abscisses le plus proche, et non depuis 0°.
- Attendre une valeur numérique de tangente à 90° ou 270°, où elle n'est pas définie puisque le cosinus y est nul.
- Oublier qu'un angle négatif ou supérieur à 360° équivaut à un angle coterminal situé dans un tour complet, de 0° à 360°.
Questions fréquentes
Que valent sin et cos à 225 degrés ?
À 225°, sin(225°) = cos(225°) = −0,707107, soit −√2/2 dans les deux cas. En effet, 225° se situe dans le quadrant III, où l'angle de référence vaut 45° (225° − 180°) et où sinus comme cosinus sont négatifs.
Dans quel quadrant se trouve 225 degrés ?
225° tombe dans le quadrant III (de 180° à 270°), où sinus et cosinus sont tous deux négatifs et la tangente positive. Son angle de référence vaut 225° − 180° = 45°.
Qu'est-ce qu'un angle de référence ?
L'angle de référence est l'angle aigu, toujours compris entre 0° et 90°, formé entre le côté terminal d'un angle et l'axe des abscisses. Pour un angle de 225°, il vaut 45°, puisque 225° dépasse de 45° la barre des 180°.
Qu'est-ce qu'un angle coterminal ?
Un angle coterminal partage le même côté terminal une fois ramené dans l'intervalle de 0° à 360°, soit un tour complet. Un angle de 585° a ainsi pour coterminal 585° − 360° = 225°, les deux désignant la même position sur le cercle.
Pourquoi tan(90°) n'est-elle pas définie sur le cercle trigonométrique ?
La tangente vaut sin θ / cos θ, or à 90° le point du cercle est (0, 1), ce qui donne cos(90°) = 0. La division par zéro n'ayant pas de sens, la tangente n'a aucune valeur à 90°, ni à 270°, où le cosinus s'annule également.
Quelles sont les valeurs exactes de sin et cos à 30°, 45° et 60° ?
sin(30°) = 0,5 et cos(30°) ≈ 0,866025 ; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107 ; sin(60°) ≈ 0,866025 et cos(60°) = 0,5. Ce sont les valeurs du cercle trigonométrique que l'on mémorise le plus souvent, toutes situées dans le quadrant I.
Références
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).