Les valeurs des angles usuels
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de sinus, cosinus et tangente pour les angles les plus employés, vérifiées à six décimales.
| Angle | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866025 | 0,577350 |
| 45° | 0,707107 | 0,707107 | 1 |
| 60° | 0,866025 | 0,5 | 1,732051 |
| 90° | 1 | 0 | non définie |
- La tangente n'est pas définie à 90°, ni à 90° + 180°k, car le cosinus s'y annule et le rapport sin/cos perd tout sens.
- Se tromper de réglage degrés/radians reste l'erreur numéro un en trigonométrie : la même valeur numérique 30 désigne un angle bien différent selon qu'il s'agit de 30° ou de 30 radians, soit environ 1 719°.
- Pour les fonctions réciproques, une valeur hors de l'intervalle [−1, 1] en arc sinus ou en arc cosinus n'a aucun sens mathématique, aucun angle réel n'ayant un sinus ou un cosinus au-delà de ces bornes.
Que sont les fonctions trigonométriques ?
Sinus, cosinus et tangente relient les angles d'un triangle rectangle aux rapports de ses côtés : le sinus est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, le cosinus celui du côté adjacent à l'hypoténuse, et la tangente celui du côté opposé au côté adjacent, soit encore sin θ / cos θ. Leurs réciproques — arc sinus, arc cosinus et arc tangente — prennent un rapport en entrée et renvoient l'angle correspondant.
Sinus et cosinus sont complémentaires l'un de l'autre : sin(θ) = cos(90° − θ). Ce calculateur affiche donc cette cofonction à côté du résultat principal pour sin, cos, sin⁻¹ et cos⁻¹, et présente la cotangente aux côtés de la tangente, de sorte que la parenté entre fonctions saute aux yeux.
Comment utiliser ce calculateur de trigonométrie
- Choisissez la fonction : sin, cos, tan, ou leurs réciproques sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹.
- Choisissez l'unité d'angle, degrés ou radians. Elle vaut pour les angles saisis dans les fonctions directes comme pour l'angle renvoyé par les réciproques.
- Saisissez la valeur : un angle pour sin, cos et tan, un rapport pour les fonctions réciproques.
- Lisez le résultat et, le cas échéant, la valeur de la cofonction associée.
Les formules des rapports trigonométriques
Les réciproques sin⁻¹ et cos⁻¹ exigent une valeur comprise entre −1 et 1 inclus, puisque le sinus et le cosinus ne sortent jamais de cet intervalle.
Erreurs fréquentes
- Laisser le calculateur dans la mauvaise unité d'angle, degrés au lieu de radians ou l'inverse, ce qui produit un résultat totalement différent mais d'apparence tout à fait plausible.
- Saisir un angle pour l'arc sinus ou l'arc cosinus, au lieu d'un rapport compris entre −1 et 1.
- Attendre de tan(90°) un très grand nombre plutôt que la mention « non définie » : la tangente y présente une asymptote verticale.
- Confondre une fonction et sa réciproque, par exemple employer sin là où cos⁻¹ s'imposait.
Questions fréquentes
Que vaut sin(30°) ?
sin(30°) = 0,5 exactement. Sa cofonction, cos(30°), vaut √3/2 ≈ 0,866025, ce qui concorde avec sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°).
Que vaut cos(45°) ?
cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707107, valeur exactement égale à sin(45°), puisque 45° est son propre complément (90° − 45° = 45°).
Pourquoi tan(90°) n'est-elle pas définie ?
La tangente est le quotient du sinus par le cosinus, or cos(90°) = 0. La division par zéro n'ayant pas de sens, tan(90°) n'a aucune valeur finie : la fonction y présente une asymptote verticale, comme tous les 180° au-delà.
Quelle différence entre sin et sin⁻¹ ?
sin(θ) prend un angle et renvoie un rapport compris entre −1 et 1. sin⁻¹(x), l'arc sinus, fait l'inverse : il prend un rapport compris entre −1 et 1 et renvoie l'angle correspondant.
Comment convertir des degrés en radians, et inversement ?
Multipliez les degrés par π/180 pour obtenir des radians, ou les radians par 180/π pour obtenir des degrés. Ainsi, 60° × π/180 ≈ 1,0472 radian.
Que vaut l'arc sinus de 0,5 ?
L'arc sinus de 0,5 vaut 30°, soit π/6 radians, puisque sin(30°) = 0,5. Le calculateur affiche également l'angle cofonction complémentaire : l'arc cosinus de 0,5 vaut 60°, et l'on a bien 30° + 60° = 90°.
Références
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).